外れ値とは、他の多くのデータ点から大きく外れた値（極端に大きい・小さいなど）の総称です。何が外れ値かは、問題設定・データの分布・目的に依存します。
このページでは、外れ値のあるデータに対して「二乗誤差（最小二乗法）」で回帰した場合と「Huber損失」を用いた回帰の違いを、数式とコードで確認します。
import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
1. なぜ最小二乗法は外れ値に弱いのか #
最小二乗法（通常の線形回帰）は、残差の二乗和 $$ \text{RSS} = \sum_{i=1}^n \big(y_i - \hat{y}_i\big)^2 $$ を最小化します。残差を二乗するため、わずかな外れ値でも損失が急激に大きくなり、直線（モデル）が外れ値の方向へ強く引っ張られるという問題が起きます。
2. Huber損失：二乗と絶対値の「いいとこ取り」 #
Huber損失は、残差が小さいときは二乗、大きいときは絶対値で扱う損失です。
残差 $r = y - \hat{y}$ とし、しきい値を $\delta > 0$ とすると
$$ \ell_\delta(r) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}r^2, & |r| \le \delta \ \delta\left(|r| - \dfrac{1}{2}\delta\right), & |r| > \delta \end{cases} $$
- 小さな誤差は二乗で滑らかに最適化（最小二乗の良さを活かす）
- 大きな誤差は絶対値相当で抑制（外れ値の影響を弱める）
勾配（影響度）は $$ \psi_\delta(r) = \frac{d}{dr}\ell_\delta(r) = \begin{cases} r, & |r|\le \delta \ \delta,\mathrm{sign}(r), & |r|>\delta \end{cases} $$ となり、外れ値に対して勾配がクリップされるのがポイントです。
用語メモ：
scikit-learn のHuberRegressorでは、このしきい値をパラメータepsilonで指定します（上式の $\delta$ に対応）。
3. Huber損失の形を可視化する #
下のコードは、二乗誤差・絶対誤差・Huber損失を一緒に描いて比較します。
def huber_loss(r: np.ndarray, delta: float = 1.5):
half_sq = 0.5 * np.square(r)
lin = delta * (np.abs(r) - 0.5 * delta)
return np.where(np.abs(r) <= delta, half_sq, lin)
delta = 1.5
r_vals = np.arange(-2, 2, 0.01)
h_vals = huber_loss(r_vals, delta=delta)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(r_vals, np.square(r_vals), "red", label=r"二乗誤差 $r^2$")
plt.plot(r_vals, np.abs(r_vals), "orange",label=r"絶対誤差 $|r|$")
plt.plot(r_vals, h_vals, "green", label=fr"Huber損失（$\delta={delta}$）")
plt.axhline(0, color="k", linewidth=0.8)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.xlabel("残差 $r$")
plt.ylabel("損失")
plt.title("二乗・絶対・Huber損失の比較")
plt.show()
4. 外れ値があると何が起こるか（データ作成） #
単純な 2 変数（$x_1, x_2$）の線形モデルに、意図的に1点だけ非常に大きい外れ値を混ぜます。
np.random.seed(42)
N = 30
x1 = np.arange(N)
x2 = np.arange(N)
X = np.c_[x1, x2] # 形状 (N, 2)
epsilon = np.random.rand(N) # 0~1 の雑音
y = 5 * x1 + 10 * x2 + epsilon * 10 # 真の関係 + 雑音
y[5] = 500 # 1点だけ極端に大きい外れ値
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, y, "ko", label="data")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("外れ値を1点含むデータ")
plt.show()
5. 最小二乗法 vs. Ridge vs. Huber を比較 #
- 最小二乗法（OLS）：二乗誤差 → 外れ値に弱い
- Ridge（L2正則化）：係数を縮める → 少し安定するが、外れ値の影響は残る
- Huber 回帰：外れ値の影響をクリップ → 直線が外れ値に引っ張られにくい
from sklearn.linear_model import HuberRegressor, Ridge, LinearRegression
plt.figure(figsize=(8, 6))
# Huber回帰（epsilon=3 で外れ値の影響を抑制）
huber = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=3.0)
huber.fit(X, y)
plt.plot(x1, huber.predict(X), "green", label="Huber回帰")
# Ridge（L2正則化）。alpha を 0 にすると OLS と実質同じになるので注意
ridge = Ridge(alpha=1.0, random_state=0)
ridge.fit(X, y)
plt.plot(x1, ridge.predict(X), "orange", label="リッジ回帰（α=1.0）")
# OLS
lr = LinearRegression()
lr.fit(X, y)
plt.plot(x1, lr.predict(X), "r-", label="最小二乗法（OLS）")
# 元データ
plt.plot(x1, y, "kx", alpha=0.7)
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("外れ値があるときの各回帰直線の違い")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()
読み取り方：
- OLS（赤）は外れ値に強く引っ張られています。
- Ridge（橙）は少し緩和しますが、依然として影響を受けます。
- Huber（緑）は、外れ値の影響が抑えられ、データ全体の傾向をより素直に捉えています。
6. パラメータのコツ（epsilon と alpha） #
epsilon（= $\delta$）- しきい値を大きくするとOLS寄りに、小さくすると絶対値損失寄りに。
- 目安は残差のスケールに依存します。スケールが大きく変わる場合は標準化やロバストなスケール推定を併用してください。
alpha（L2 ペナルティ）- 係数の暴れを抑える効果。相関が強い特徴や少データでは安定化に有効。
epsilon の感度を見る例：
from sklearn.metrics import mean_squared_error
for eps in [1.2, 1.5, 2.0, 3.0]:
h = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=eps).fit(X, y)
mse = mean_squared_error(y, h.predict(X))
print(f"epsilon={eps:>3}: MSE={mse:.3f}")
7. 実務での注意点 #
- スケーリング：特徴量・目的変数のスケールが大きく異なると、
epsilonの意味合いが変わります。標準化やロバストスケール推定を検討。 - レバレッジ点には弱い：Huber は主に $y$ 側の外れ値（垂直方向）に頑健です。$X$ 側の強い外れ値（レバレッジ点）には依然として脆弱なことに注意。
- 閾値の選び方：
GridSearchCVでepsilonとalphaを同時に探索するのが安全。 - モデル比較はCVで：訓練データの当てはまりだけで判断せず、交差検証で汎化性能を評価しましょう。
8. まとめ #
- OLS は外れ値に弱く直線が引っ張られやすい。
- Huber 損失は「小さな誤差＝二乗」「大きな誤差＝絶対値」で、外れ値の影響を勾配クリップ的に抑える。
epsilonとalphaのチューニングで、頑健性と当てはまりのバランスを取れる。- レバレッジ点には注意。必要なら検出・可視化・前処理（例：外れ値ラベル付与）と併用。