サポートベクター回帰 (SVR)

中級

2.1.10

サポートベクター回帰 (SVR)

最終更新 2020-06-03 読了時間 3 分
まとめ
  • サポートベクター回帰 (SVR) は ε 不感帯により小さな誤差をゼロとみなし、外れ値の影響を抑える。
  • カーネル法を利用して非線形な関係も柔軟に学習できるため、複雑なパターンを少数のサポートベクターで表現できる。
  • ハイパーパラメータ C・epsilon・gamma の調整で汎化性能とモデルの滑らかさを制御する。
  • 特徴量のスケーリングは必須であり、パイプライン化して前処理と学習を一体化すると安定する。

直感 #

SVR は「一定幅の誤差なら許容する」という考え方で、得られた近似関数とデータ点の間に ε 幅のチューブを敷きます。チューブの外に出た点にのみペナルティを課し、チューブに触れる点（サポートベクター）だけがモデルに影響します。そのためノイズが多い状況でも滑らかな近似関数を求められます。

具体的な数式 #

最適化問題は

$$ \min_{\mathbf{w}, b, \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}^*} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^{n} (\xi_i + \xi_i^*) $$

で、制約条件は

$$ \begin{aligned} y_i - (\mathbf{w}^\top \phi(\mathbf{x}_i) + b) &\le \epsilon + \xi_i, \\ (\mathbf{w}^\top \phi(\mathbf{x}_i) + b) - y_i &\le \epsilon + \xi_i^*, \\ \xi_i, \xi_i^* &\ge 0 \end{aligned} $$

です。ここで \(\phi\) はカーネルによる特徴空間への写像です。双対問題を解くことでサポートベクターと係数が得られます。

Pythonを用いた実験や説明 #

StandardScaler と組み合わせた SVR の基本的な使い方を示します。

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from __future__ import annotations

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import SVR

def run_svr_demo(
    *,
    n_samples: int = 300,
    train_size: float = 0.75,
    xlabel: str = "input x",
    ylabel: str = "output y",
    label_train: str = "train samples",
    label_test: str = "test samples",
    label_pred: str = "SVR prediction",
    label_truth: str = "ground truth",
    title: str | None = None,
) -> dict[str, float]:
    """Train SVR on synthetic nonlinear data, plot fit, and report metrics.

    Args:
        n_samples: Number of data points sampled from the underlying function.
        train_size: Fraction of data used for training.
        xlabel: X-axis label for the plot.
        ylabel: Y-axis label for the plot.
        label_train: Legend label for training samples.
        label_test: Legend label for test samples.
        label_pred: Legend label for the SVR prediction line.
        label_truth: Legend label for the ground-truth curve.
        title: Optional title for the plot.

    Returns:
        Dictionary containing training and test RMSE values.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed=42)

    X = np.linspace(0.0, 6.0, n_samples, dtype=float)
    y_true = np.sin(X) * 1.5 + 0.3 * np.cos(2 * X)
    y_noisy = y_true + rng.normal(scale=0.2, size=X.shape)

    X_train, X_test, y_train, y_test, y_true_train, y_true_test = train_test_split(
        X[:, np.newaxis],
        y_noisy,
        y_true,
        train_size=train_size,
        random_state=42,
        shuffle=True,
    )

    svr = make_pipeline(
        StandardScaler(),
        SVR(kernel="rbf", C=10.0, epsilon=0.1, gamma="scale"),
    )
    svr.fit(X_train, y_train)

    train_pred = svr.predict(X_train)
    test_pred = svr.predict(X_test)

    grid = np.linspace(0.0, 6.0, 400, dtype=float)[:, np.newaxis]
    grid_truth = np.sin(grid.ravel()) * 1.5 + 0.3 * np.cos(2 * grid.ravel())
    grid_pred = svr.predict(grid)

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
    ax.scatter(X_train, y_train, color="#1f77b4", alpha=0.6, label=label_train)
    ax.scatter(X_test, y_test, color="#ff7f0e", alpha=0.6, label=label_test)
    ax.plot(grid, grid_truth, color="#2ca02c", linewidth=2, label=label_truth)
    ax.plot(grid, grid_pred, color="#d62728", linewidth=2, linestyle="--", label=label_pred)
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    if title:
        ax.set_title(title)
    ax.legend()
    fig.tight_layout()
    plt.show()

    return {
        "train_rmse": float(mean_squared_error(y_train, train_pred, squared=False)),
        "test_rmse": float(mean_squared_error(y_test, test_pred, squared=False)),
    }

metrics = run_svr_demo(
    xlabel="入力 x",
    ylabel="出力 y",
    label_train="学習データ",
    label_test="テストデータ",
    label_pred="SVR の予測",
    label_truth="真の関数",
    title="SVR による非線形回帰",
)
print(f"訓練RMSE: {metrics['train_rmse']:.3f}")
print(f"テストRMSE: {metrics['test_rmse']:.3f}")

実行結果の読み方 #

  • パイプライン化すると訓練データの平均・分散でスケーリングされ、テストデータにも同じ変換が適用される。
  • pred はテストデータに対する予測値で、epsilon や C を調整すると過学習と過小適合のバランスが変わる。
  • RBF カーネルの gamma を大きくすると局所的なフィッティングが強まり、小さくすると滑らかな関数になる。

ε チューブ幅と回帰曲線 #

ε の値を変えると不感帯の幅とフィッティングがどう変わるか確認できます。

参考文献 #

  • Smola, A. J., & Schölkopf, B. (2004). A Tutorial on Support Vector Regression. Statistics and Computing, 14(3), 199–222.
  • Vapnik, V. (1995). The Nature of Statistical Learning Theory. Springer.