Πολυωνυμική Παλινδρόμηση

Ενημέρωση 2020-03-11 Ανάγνωση 3 λεπτά

Σύνοψη

Η πολυωνυμική παλινδρόμηση επεκτείνει τα χαρακτηριστικά με δυνάμεις ώστε ένα γραμμικό μοντέλο να μπορεί να προσαρμοστεί σε μη γραμμικές σχέσεις.
Το μοντέλο παραμένει γραμμικός συνδυασμός συντελεστών, διατηρώντας λύσεις κλειστής μορφής και ερμηνευσιμότητα.
Υψηλότεροι βαθμοί αυξάνουν την εκφραστικότητα αλλά προκαλούν επίσης υπερπροσαρμογή, καθιστώντας σημαντικές την κανονικοποίηση και τη διασταυρωμένη επικύρωση.
Η τυποποίηση των χαρακτηριστικών και η ρύθμιση του βαθμού μαζί με την ισχύ ποινής οδηγούν σε σταθερές προβλέψεις.

Εισαγωγή #

Αυτή η μέθοδος πρέπει να ερμηνεύεται μέσα από τις υποθέσεις της, τις συνθήκες των δεδομένων και τον τρόπο με τον οποίο οι επιλογές παραμέτρων επηρεάζουν τη γενίκευση.

Αναλυτική Επεξήγηση #

Μαθηματική Διατύπωση #

Δεδομένου $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_m)$, κατασκευάζουμε ένα πολυωνυμικό διάνυσμα χαρακτηριστικών $\phi(\mathbf{x})$ μέχρι βαθμό $d$ και εφαρμόζουμε γραμμική παλινδρόμηση. Για $m = 2$ και $d = 2$,

$$ \phi(\mathbf{x}) = (1, x_1, x_2, x_1^2, x_1 x_2, x_2^2), $$

και το μοντέλο γίνεται

$$ y = \mathbf{w}^\top \phi(\mathbf{x}). $$

Καθώς το $d$ αυξάνεται, ο αριθμός των όρων αυξάνεται ραγδαία, οπότε στην πράξη ξεκινάμε με βαθμό 2 ή 3 και τον συνδυάζουμε με κανονικοποίηση (π.χ., Ridge) όταν χρειάζεται.

Πειράματα σε Python #

Παρακάτω προσθέτουμε πολυωνυμικά χαρακτηριστικά τρίτου βαθμού και προσαρμόζουμε μια καμπύλη σε δεδομένα που δημιουργήθηκαν από κυβική συνάρτηση με θόρυβο.

from __future__ import annotations

import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

def compare_polynomial_regression(
    n_samples: int = 200,
    degree: int = 3,
    noise_scale: float = 2.0,
    label_observations: str = "observations",
    label_true_curve: str = "true curve",
    label_linear: str = "linear regression",
    label_poly_template: str = "degree-{degree} polynomial",
) -> tuple[float, float]:
    """Fit linear vs. polynomial regression to a cubic trend and plot the results.

    Args:
        n_samples: Number of synthetic samples generated along the curve.
        degree: Polynomial degree used in the feature expansion.
        noise_scale: Standard deviation of the Gaussian noise added to targets.

    Returns:
        A tuple containing the mean-squared errors of (linear, polynomial) models.
    """
    japanize_matplotlib.japanize()
    rng = np.random.default_rng(seed=42)

    x: np.ndarray = np.linspace(-3.0, 3.0, n_samples, dtype=float)
    y_true: np.ndarray = 0.5 * x**3 - 1.2 * x**2 + 2.0 * x + 1.5
    y_noisy: np.ndarray = y_true + rng.normal(scale=noise_scale, size=x.shape)

    X: np.ndarray = x[:, np.newaxis]

    linear_model = LinearRegression()
    linear_model.fit(X, y_noisy)
    poly_model = make_pipeline(
        PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False),
        LinearRegression(),
    )
    poly_model.fit(X, y_noisy)

    grid: np.ndarray = np.linspace(-3.5, 3.5, 300, dtype=float)[:, np.newaxis]
    linear_pred: np.ndarray = linear_model.predict(grid)
    poly_pred: np.ndarray = poly_model.predict(grid)
    true_curve: np.ndarray = (
        0.5 * grid.ravel()**3 - 1.2 * grid.ravel()**2 + 2.0 * grid.ravel() + 1.5
    )

    linear_mse: float = float(mean_squared_error(y_noisy, linear_model.predict(X)))
    poly_mse: float = float(mean_squared_error(y_noisy, poly_model.predict(X)))

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
    ax.scatter(
        X,
        y_noisy,
        s=20,
        color="#ff7f0e",
        alpha=0.6,
        label=label_observations,
    )
    ax.plot(
        grid,
        true_curve,
        color="#2ca02c",
        linewidth=2,
        label=label_true_curve,
    )
    ax.plot(
        grid,
        linear_pred,
        color="#1f77b4",
        linestyle="--",
        linewidth=2,
        label=label_linear,
    )
    ax.plot(
        grid,
        poly_pred,
        color="#d62728",
        linewidth=2,
        label=label_poly_template.format(degree=degree),
    )
    ax.set_xlabel("input $x$")
    ax.set_ylabel("output $y$")
    ax.legend()
    fig.tight_layout()
    plt.show()

    return linear_mse, poly_mse

degree = 3
linear_mse, poly_mse = compare_polynomial_regression(degree=degree)
print(f"Linear regression MSE: {linear_mse:.3f}")
print(f"Degree-{degree} polynomial regression MSE: {poly_mse:.3f}")

Παρακάτω προσθέτουμε πολυωνυμικά χαρακτηριστικά τρίτου βαθμού και προσαρμόζουμε μια καμπύλη

Ανάγνωση των αποτελεσμάτων #

Η απλή γραμμική παλινδρόμηση χάνει την καμπυλότητα, ειδικά κοντά στο κέντρο, ενώ το κυβικό πολυώνυμο ακολουθεί στενά την πραγματική καμπύλη.
Η αύξηση του βαθμού βελτιώνει την προσαρμογή στα δεδομένα εκπαίδευσης αλλά μπορεί να κάνει την εξωγραμμική πρόβλεψη ασταθή.
Ο συνδυασμός πολυωνυμικών χαρακτηριστικών με κανονικοποιημένη παλινδρόμηση (π.χ., Ridge) μέσω pipeline βοηθά στον περιορισμό της υπερπροσαρμογής.

Αναφορές #

Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The Elements of Statistical Learning. Springer.