- La regresión softmax generaliza la regresión logística al caso multiclase, produciendo simultáneamente la probabilidad de cada clase.
- Las salidas están entre 0 y 1 y suman 1, por lo que se integran fácilmente en umbrales de decisión, reglas con costes o pipelines posteriores.
- El entrenamiento minimiza la entropía cruzada, corrigiendo directamente la discrepancia entre la distribución predicha y la verdadera.
- En scikit-learn,
LogisticRegression(multi_class="multinomial")implementa la regresión softmax y admite regularización L1/L2.
Intuición #
En el caso binario, la sigmoide entrega la probabilidad de la clase 1. Con varias clases necesitamos todas las probabilidades a la vez. La regresión softmax calcula un puntaje lineal por clase, lo exponentia y lo normaliza para obtener una verdadera distribución de probabilidad: puntajes altos se realzan y los bajos se atenúan.
Formulación matemática #
Sea \(K\) el número de clases, \(\mathbf{w}_k\) y \(b_k\) los parámetros de la clase \(k\). Entonces
$$ P(y = k \mid \mathbf{x}) = \frac{\exp\left(\mathbf{w}k^\top \mathbf{x} + b_k\right)} {\sum{j=1}^{K} \exp\left(\mathbf{w}_j^\top \mathbf{x} + b_j\right)}. $$
La función objetivo es la entropía cruzada
$$ L = - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} \mathbb{1}(y_i = k) \log P(y = k \mid \mathbf{x}_i), $$
con la posibilidad de añadir regularización para evitar sobreajuste.
Experimentos con Python #
El siguiente código entrena una regresión softmax sobre un conjunto sintético de tres clases y dibuja las regiones de decisión. Basta con indicar multi_class="multinomial" para activar la formulación softmax.
from __future__ import annotations
import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score
def run_softmax_regression_demo(
n_samples: int = 300,
n_classes: int = 3,
random_state: int = 42,
label_title: str = "Región de decisión de regresión softmax",
xlabel: str = "característica 1",
ylabel: str = "característica 2",
) -> dict[str, float]:
"""Train a softmax regression model and visualise decision regions."""
japanize_matplotlib.japanize()
X, y = make_classification(
n_samples=n_samples,
n_features=2,
n_informative=2,
n_redundant=0,
n_clusters_per_class=1,
n_classes=n_classes,
random_state=random_state,
)
clf = LogisticRegression(multi_class="multinomial", solver="lbfgs")
clf.fit(X, y)
accuracy = float(accuracy_score(y, clf.predict(X)))
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1.0, X[:, 0].max() + 1.0
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1.0, X[:, 1].max() + 1.0
grid_x1, grid_x2 = np.meshgrid(
np.linspace(x1_min, x1_max, 400),
np.linspace(x2_min, x2_max, 400),
)
grid_points = np.c_[grid_x1.ravel(), grid_x2.ravel()]
preds = clf.predict(grid_points).reshape(grid_x1.shape)
cmap = ListedColormap(["#ff9896", "#98df8a", "#aec7e8", "#f7b6d2", "#c5b0d5"])
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
ax.contourf(grid_x1, grid_x2, preds, alpha=0.3, cmap=cmap, levels=np.arange(-0.5, n_classes + 0.5, 1))
scatter = ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolor="k", cmap=cmap)
ax.set_xlabel(xlabel)
ax.set_ylabel(ylabel)
ax.set_title(label_title)
legend = ax.legend(*scatter.legend_elements(), title="classes", loc="best")
ax.add_artist(legend)
fig.tight_layout()
plt.show()
return {"accuracy": accuracy}
metrics = run_softmax_regression_demo(
label_title="Región de decisión de regresión softmax",
xlabel="característica 1",
ylabel="característica 2",
)
print(f"Precisión de entrenamiento: {metrics['accuracy']:.3f}")
Referencias #
- Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
- Murphy, K. P. (2012). Machine Learning: A Probabilistic Perspective. MIT Press.