SVD | K_DM Book

SVD (Descomposición en Valores Singulares) es un método que descompone una matriz en el producto de matrices ortogonales y una matriz diagonal. También puede considerarse un tipo de algoritmo de reducción de dimensionalidad. Aquí, intentaremos representar datos de imágenes utilizando datos de menor dimensionalidad mediante SVD.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy import linalg
from PIL import Image

Datos para experimentos #

Tomaremos una imagen con el texto “実験” y la trataremos como una serie de datos (en escala de grises, representados como una colección de vectores como [0, 0, 1, 1, 0 …]) para realizar la descomposición en valores singulares.

https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/linalg.html

img = Image.open("./sample.png").convert("L").resize((163, 372)).rotate(90, expand=True)
img

png

Realizar la descomposición en valores singulares #

## Realizar la descomposición en valores singulares de la matriz A que contiene los datos de la imagen del texto
X = np.asarray(img)
U, Sigma, VT = linalg.svd(X, full_matrices=True)

print(f"A: {X.shape}, U: {U.shape}, Σ:{Sigma.shape}, V^T:{VT.shape}")

A: (163, 372), U: (163, 163), Σ:(163,), V^T:(372, 372)

Aproximación de la imagen con rango reducido #

# A medida que se aumenta el rango, el texto original se restaura con mayor precisión
for rank in [1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 50]:
    # Extraer los elementos hasta el rango especificado
    U_i = U[:, :rank]
    Sigma_i = np.matrix(linalg.diagsvd(Sigma[:rank], rank, rank))
    VT_i = VT[:rank, :]

    # Restaurar la imagen
    temp_image = np.asarray(U_i * Sigma_i * VT_i)
    Image.fromarray(np.uint8(temp_image))
    plt.title(f"rango={rank}")
    plt.imshow(temp_image, cmap="gray")
    plt.show()

Contenido de V #

total = np.zeros((163, 372))

for rank in [1, 2, 3, 4, 5]:
    # Extraer los elementos hasta el rango especificado
    U_i = U[:, :rank]
    Sigma_i = np.matrix(linalg.diagsvd(Sigma[:rank], rank, rank))
    VT_i = VT[:rank, :]

    # Poner a 0 todos los valores excepto el singular del rango especificado, dejando solo el elemento del rango actual
    if rank > 1:
        for ri in range(rank - 1):
            Sigma_i[ri, ri] = 0

    # Restaurar la imagen
    temp_image = np.asarray(U_i * Sigma_i * VT_i)
    Image.fromarray(np.uint8(temp_image))

    # Sumar solo el elemento del rango actual
    total += temp_image

    # Comparar la imagen restaurada con los elementos hasta el rango actual y los valores de la columna correspondiente de la matriz V
    plt.figure(figsize=(5, 5))
    plt.suptitle(f"$u_{rank}$")
    plt.subplot(211)
    plt.imshow(temp_image, cmap="gray")
    plt.subplot(212)
    plt.plot(VT[0])
    plt.show()

# Confirmar que al sumar los elementos del rango 1 al 5 se puede restaurar correctamente la imagen original
plt.imshow(total)