Regresión robusta

Actualizado 2020-02-26 Lectura 3 min

Resumen

Los mínimos cuadrados ordinarios (OLS) reaccionan con fuerza a los outliers porque los residuos al cuadrado crecen rápidamente y distorsionan el ajuste.
La pérdida de Huber mantiene la pérdida cuadrática para residuos pequeños y adopta una penalización lineal para residuos grandes, lo que reduce la influencia de valores extremos.
Ajustar el umbral $\delta$ (epsilon en scikit-learn) y la penalización L2 opcional $\alpha$ permite equilibrar robustez y varianza.
Combinar escalado con validación cruzada proporciona modelos estables incluso cuando los datos reales mezclan observaciones normales y anomalías.

Intuicion #

Este metodo se entiende mejor al conectar sus supuestos con la estructura de los datos y su efecto en la generalizacion.

Explicacion Detallada #

Formulación matemática #

Sea el residuo $r = y - \hat{y}$. Para un umbral $\delta > 0$, la pérdida de Huber se define como

$$ \ell_\delta(r) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} r^2, & |r| \le \delta, \\ \delta \bigl(|r| - \dfrac{1}{2}\delta\bigr), & |r| > \delta. \end{cases} $$

Los residuos pequeños se tratan igual que en OLS, pero los grandes crecen de manera lineal. La función de influencia se satura:

$$ \psi_\delta(r) = \begin{cases} r, & |r| \le \delta, \\ \delta\,\mathrm{sign}(r), & |r| > \delta. \end{cases} $$

En scikit-learn el parámetro epsilon corresponde a $\delta$. También se puede añadir una penalización L2 $\alpha \lVert \boldsymbol\beta \rVert_2^2$ para estabilizar los coeficientes cuando las variables están correlacionadas.

Experimentos con Python #

Visualizamos las formas de las pérdidas y comparamos OLS, Ridge y Huber en un conjunto de datos sintético que incluye un outlier extremo.

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import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

Pérdida de Huber frente a pérdidas cuadrática y absoluta #

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def huber_loss(r: np.ndarray, delta: float = 1.5):
    half_sq = 0.5 * np.square(r)
    lin = delta * (np.abs(r) - 0.5 * delta)
    return np.where(np.abs(r) <= delta, half_sq, lin)

delta = 1.5
r_vals = np.arange(-2, 2, 0.01)
h_vals = huber_loss(r_vals, delta=delta)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(r_vals, np.square(r_vals), "red",   label=r"cuadrática $r^2$")
plt.plot(r_vals, np.abs(r_vals),    "orange",label=r"absoluta $|r|$")
plt.plot(r_vals, h_vals,            "green", label=fr"Huber ($\delta={delta}$)")
plt.axhline(0, color="k", linewidth=0.8)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.xlabel("residuo $r$")
plt.ylabel("pérdida")
plt.title("Comparación de las pérdidas cuadrática, absoluta y Huber")
plt.show()

Conjunto de datos de juguete con un outlier #

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np.random.seed(42)

N = 30
x1 = np.arange(N)
x2 = np.arange(N)
X = np.c_[x1, x2]
epsilon = np.random.rand(N)
y = 5 * x1 + 10 * x2 + epsilon * 10

y[5] = 500  # introducimos un outlier extremo

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, y, "ko", label="datos")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Datos con un outlier")
plt.show()

Comparación entre OLS, Ridge y Huber #

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from sklearn.linear_model import HuberRegressor, Ridge, LinearRegression

plt.figure(figsize=(8, 6))

huber = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=3.0)
huber.fit(X, y)
plt.plot(x1, huber.predict(X), "green", label="Huber")

ridge = Ridge(alpha=1.0, random_state=0)
ridge.fit(X, y)
plt.plot(x1, ridge.predict(X), "orange", label="Ridge (α=1.0)")

ols = LinearRegression()
ols.fit(X, y)
plt.plot(x1, ols.predict(X), "r-", label="OLS")

plt.plot(x1, y, "kx", alpha=0.7)
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Efecto del outlier en distintos regresores")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

Interpretación de los resultados #

OLS (rojo) es fuertemente arrastrado por el outlier.
Ridge (naranja) se estabiliza un poco gracias a la penalización L2, pero sigue viéndose afectado.
Huber (verde) limita la influencia del outlier y sigue mejor la tendencia principal.

Referencias #

Huber, P. J. (1964). Robust Estimation of a Location Parameter. The Annals of Mathematical Statistics, 35(1), 73–101.
Hampel, F. R. et al. (1986). Robust Statistics: The Approach Based on Influence Functions. Wiley.
Huber, P. J., & Ronchetti, E. M. (2009). Robust Statistics (2nd ed.). Wiley.