平均絶対誤差 (MAE) と二乗平均平方根誤差 (RMSE) は、回帰モデルの予測誤差を評価する基本指標です。外れ値への感度や単位の解釈が異なるため、用途に応じて使い分けましょう。
1. 定義と性質 #
観測値を \(y_i\)、予測値を \(\hat{y}_i\) とすると、
$$ \mathrm{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |y_i - \hat{y}i|, \qquad \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2} $$
- MAE：誤差の絶対値を平均。外れ値の影響が線形で、中央値に相当するロバスト性がある。
- RMSE：誤差を二乗して平均し平方根。大きな誤差を強く罰するため、外れ値が多いと増加しやすい。
- 単位はいずれも元データと同じ。RMSE は二乗の平方根で戻すが、感覚的には「大きな外れを嫌う」設定。
2. Python で計算する #
import numpy as np
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error
y_true = np.array([10, 12, 9, 11, 10])
y_pred = np.array([9.5, 13, 8, 11.5, 9])
mae = mean_absolute_error(y_true, y_pred)
rmse = mean_squared_error(y_true, y_pred, squared=False)
print(f"MAE = {mae:.3f}")
print(f"RMSE = {rmse:.3f}")
mean_squared_error(..., squared=False) とすれば平方根付きで RMSE を得られます。平方根を掛けない場合は MSE です。
3. 外れ値がある場合の比較 #
import numpy as np
baseline = np.linspace(100, 110, 20)
prediction = baseline + np.random.normal(0, 1.0, size=baseline.size)
mae_clean = np.mean(np.abs(baseline - prediction))
rmse_clean = np.sqrt(np.mean((baseline - prediction) ** 2))
prediction_with_outlier = prediction.copy()
prediction_with_outlier[0] += 15 # 大きな外れ
mae_outlier = np.mean(np.abs(baseline - prediction_with_outlier))
rmse_outlier = np.sqrt(np.mean((baseline - prediction_with_outlier) ** 2))
print(f"MAE (clean, outlier) = {mae_clean:.2f}, {mae_outlier:.2f}")
print(f"RMSE (clean, outlier) = {rmse_clean:.2f}, {rmse_outlier:.2f}")
- MAE は外れ値が加わっても緩やかに増加する。
- RMSE は外れ値に大きく引っ張られ、誤差の跳ね上がりを敏感に捉える。
4. 指標の選び方 #
- 外れ値が少なく、平均的な誤差を重視 ➜ RMSE を採用すると微妙なずれも評価しやすい。
- 外れ値が多い、頑健な指標が欲しい ➜ MAE や中央値絶対偏差 (MAD) を併用。
- 報酬・コストが二乗に比例 ➜ RMSE がしっくり来る (例: エネルギー損失、物理誤差)。
- 単位をそのまま伝えたい ➜ MAE は直感的に解釈しやすい。「平均で ○○ 単位ずれる」。
5. 追加の指標と組み合わせ #
- MAPE：百分率誤差。相対的な誤差感を共有したいときに便利。ただしゼロ付近では不安定。
- RMSLE：対数スケールで RMSE を取る。需要予測などで過小予測を強く罰したいケース。
- 分位点損失 (Pinball Loss)：売上予測の上下限など、リスク区間を評価したい場面で有効。
6. まとめ #
- MAE と RMSE はいずれも回帰誤差を正確に可視化する基礎指標だが、外れ値への感度が異なる。
- 実務では両方を並べて確認し、ビジネス上のコスト構造に合わせて重視する指標を決める。
- MAPE や RMSLE など関連指標も組み合わせ、モデル改善の方向性を多角的に把握しよう。