MAE と RMSE のちがいは何ですか？

どちらも予測と実際のズレの大きさを平均した値です。MAE はズレの絶対値をそのまま平均し、RMSE はズレを 2 乗して平均してから平方根をとります。RMSE は大きなズレを重く数えるので、外れ値があると MAE より大きく増えます。

RMSE が MAE より小さくなることはありますか？

ありません。つねに MAE ≦ RMSE で、等号はすべてのズレの大きさが同じときだけ成り立ちます。2 つの差が大きいほど、ズレの大きさにばらつき（極端に外れた予測）があることを意味します。

MAE と RMSE は数学Iのどこと関係がありますか？

RMSE の計算は分散・標準偏差とそっくりで、「偏差を 2 乗して平均し平方根をとる」の偏差を「予測とのズレ」に置きかえたものです。MAE は平均偏差（偏差の絶対値の平均）に対応します。

MAE・RMSE（高校生向け）

入門高校生

03.2.3 高校生向け

MAE・RMSE（高校生向け）

最終更新 2026-11-01 読了時間 2 分

まとめ

MAE と RMSE は、回帰モデル（数を予測するモデル）の予測と実際のズレをまとめて 1 つの数にした指標で、単位はもとのデータと同じ ℃ や円です。MAE（平均絶対誤差）はズレの絶対値をそのまま平均するので、「平均して何 ℃ 外れるか」と読めます。RMSE（二乗平均平方根誤差）はズレを 2 乗して平均し、平方根をとるので、5 ℃ のズレを 25 として数え、大きなズレを重く評価します。つねに MAE ≦ RMSE で、気温予報 5 日分の例なら MAE = 2.0、RMSE ≈ 2.53 となり、2 つの差が大きいほど極端に外れた予測が混ざっています。

こんな場面を想像してみよう #

天気アプリの最高気温の予報を 5 日分メモし、実際の気温と比べました。

日	予報（℃）	実際（℃）	ズレ $e$	$\lvert e \rvert$	$e^2$
1	25	26	−1	1	1
2	27	26	+1	1	1
3	30	28	+2	2	4
4	24	25	−1	1	1
5	31	26	+5	5	25

「この予報はどのくらい当たっているか」を 1 つの数で言いたいとき、ズレを平均すればよさそうです。でも +1 と −1 をそのまま足すと打ち消し合ってしまうので、符号を消してから平均します。消し方が 2 とおりあり、それが MAE と RMSE です。

$$ \mathrm{MAE} = \frac{1+1+2+1+5}{5} = 2.0, \qquad \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1+1+4+1+25}{5}} = \sqrt{6.4} \approx 2.53 $$

散布図で考えると、横軸に「予報」、縦軸に「実際」をとって 5 つの点を打ち、対角線（予報＝実際）を引いたときの、各点から対角線までの縦の距離がズレです。MAE はその距離の平均、RMSE は距離を 2 乗して平均した値の平方根です。

仕組み：2 乗すると大きなズレが「重く」なる #

まず、点ごとに「実際 − 予測」を出してズレを測ります。回帰直線を引いたグラフなら、点から直線までの縦の長さです。次に符号を消します。MAE は絶対値をとり、RMSE は 2 乗する。ここで分かれ道です。そのうえで $n$ 個の合計を $n$ で割って平均し、最後に RMSE だけは 2 乗したぶん単位が「℃²」になっているので、平方根をとって「℃」に戻します。

大きなズレを 1 つ入れてみると違いがはっきりします。5 日目のズレが 5 ではなく 10 だったとしましょう。MAE は $(1+1+2+1+10)/5 = 3.0$ と 1.0 増えるだけですが、RMSE は $\sqrt{(1+1+4+1+100)/5} = \sqrt{21.4} \approx 4.63$ と 2 倍近くに跳ね上がります。2 乗の中では 10 が 100 として効くからです。逆に 5 つのズレが全部 2 なら、MAE = RMSE = 2.0 でぴったり一致します。

同じ計算を Python で書くと次のようになります。

1
2
3
4
5
errors = [1, 1, 2, 1, 5]            # 予報と実際のズレの大きさ（℃）
n = len(errors)
mae = sum(abs(e) for e in errors) / n
rmse = (sum(e * e for e in errors) / n) ** 0.5
print(f"MAE = {mae:.2f}, RMSE = {rmse:.2f}")

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目ズレの大きさだけを並べる
表の $\lvert e \rvert$ の列をそのまま errors にしています。MAE と RMSE はズレの大きさだけで決まるので、予報と実際の値そのものは要りません。符号付きのズレ [-1, 1, 2, -1, 5] を入れても、abs と 2 乗で符号が消えるので同じ結果になります。
3 行目絶対値を足して n で割ると MAE
sum(abs(e) for e in errors) / n は $(1+1+2+1+5)/5$ の計算そのままで、2.0 になります。abs を外して sum(errors) にすると符号付きの合計になり、+1 と −1 が打ち消し合う問題がそのまま起きます。
4 行目2 乗して平均し、0.5 乗で平方根
e * e で 2 乗、/ n で平均、** 0.5 で平方根です。この 3 段階が分散・標準偏差の計算と同じ形で、** 0.5 を省いた値 6.4 が「平均二乗誤差（MSE）」、単位は ℃² になります。
5 行目出力で 2.00 と 2.53 を確かめる
:.2f で小数 2 桁に揃えて表示します。errors の 5 番目を 10 に変えると、MAE は 3.00、RMSE は 4.63 と表示され、RMSE だけが大きく動くことを自分の手で確かめられます。

出力は MAE = 2.00, RMSE = 2.53 です。5 番目の値を 10 に変えて、RMSE だけが大きく動くことを確かめてみてください。

動かして見てみよう #

下の図で「再生」を押すと、説明した手順が 1 つずつ進みます。手順ごとの説明は図の下に出ます。

気をつけたいこと #

最初の注意は、外れ値が混ざると RMSE だけ悪く見えることです。センサーの故障で 1 回だけ 20 ℃ 外れた記録があると、RMSE は大きくなります。それが「モデルの悪さ」なのか「データの事故」なのかを散布図で確かめます。二つ目は、気温の MAE 2 ℃ と売上の MAE 2 万円のように、単位がちがう問題どうしは比べられないことです。同じデータでモデルを比べるときに使う指標です。三つ目は、MAE ＞ RMSE になったら計算ミスということです。数学的にありえないので、どこかで絶対値と 2 乗を取りちがえています。

やってみよう #

最初の課題は表の操作です。上の表の 5 日目のズレを 0、5、10、20 と変えて、MAE と RMSE をそれぞれ計算し、RMSE − MAE がどう広がるか表にしてみよう。二つ目は実測で、自分のスマホの天気予報を 1 週間メモし、実際の気温との MAE と RMSE を出してみよう。差が大きかった日は何が起きた日だろう。三つ目は考える課題で、「大きく外すことだけは絶対に避けたい予測」と「ときどき大外れしても平均が合っていればよい予測」を 1 つずつ考え、それぞれ MAE と RMSE のどちらで評価すべきか説明してみよう。

つぎに読む #

MAE ≦ RMSE ≦ √n・MAE の不等式、外れ値ありなしの実験、scikit-learn での計算は標準版の MAE・RMSE で扱っています。外れ値にもっと強い指標は中央値絶対誤差（高校生向け）、「ズレの大きさ」ではなく「ばらつきを説明した割合」で見る指標は決定係数（高校生向け）へ進んでください。数式なしで読むなら MAE・RMSE（中学生向け）、指標の一覧は回帰の評価指標にあります。