ローリングβで市場感応度を測る

05.1.13

ローリングβで市場感応度を測る

最終更新 2020-07-15 読了時間 4 分

まとめ

β（ベータ）は「市場が 1% 動いたときにその銘柄が何 % 動くか」を表す市場感応度で、CAPM では \( r_i = \alpha + \beta \cdot r_m + \epsilon \) の傾きにあたります。全期間で 1 つの β を求めるのではなく、直近 120 営業日などの窓をずらしながら計算すると、銘柄の性格が時間とともに変わる様子を追えます。このページでは真の β を 1.2（AAA）と 0.7（BBB）に設定した 520 営業日の擬似リターンを作り、asset.rolling(window).apply の中で np.cov / np.var を計算する関数 rolling_beta() で推定値の推移を描きます。ウィンドウ長を 60・120・250 で比べると、短い窓ほど敏感で荒く、長い窓ほど滑らかで遅れるという取引関係が図で確認できます。

直感 #

市場全体（例えば S&P 500）が 1% 上がった日に、ある銘柄が平均して 1.2% 上がるなら β は 1.2 で、市場より振れ幅の大きい「アグレッシブ」な銘柄です。0.7 なら市場の 7 割しか動かない「ディフェンシブ」な銘柄になります。β は散布図に引いた回帰直線の傾きで、計算上は共分散を市場の分散で割った \( \text{Cov}(r_i, r_m) / \text{Var}(r_m) \) です。ただし企業の事業内容や相場環境が変われば β も変わるので、過去 2 年を 1 つの値にまとめるより、直近 120 日の窓を 1 日ずつずらして計算し続けるほうが「今の β」に近い値が得られます。

市場リターンと銘柄リターンの日次系列直近 window 日を切り出す Cov(銘柄, 市場) / Var(市場) 1 日ずらして繰り返す β の時系列 β = 1 の線と比べる

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：r は「直線に沿う強さ」。曲線的な関係や外れ値があると、r だけでは関係を見誤る。β はこの直線の「傾き」で、r が同じでも銘柄の振れ幅が大きければ β は大きくなります。

擬似データの生成 #

真の β が分かっているデータで試すために、市場リターンに β を掛けてノイズを足した 2 銘柄を作ります。推定した β が 1.2 と 0.7 に近づけば、関数が正しく動いている確認になります。

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import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from pathlib import Path

np.random.seed(7)
plt.style.use("scripts/k_dm.mplstyle")

dates = pd.date_range("2022-01-01", periods=520, freq="B")
market_returns = np.random.normal(0.0004, 0.01, size=len(dates))

signals = {}
for ticker, beta, vol in [
    ("AAA", 1.2, 0.012),
    ("BBB", 0.7, 0.009),
]:
    residual = np.random.normal(0, vol, size=len(dates))
    signals[ticker] = beta * market_returns + residual

returns = pd.DataFrame({"market": market_returns, **signals}, index=dates)

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6 行目乱数を固定して本文の数値と図を一致させる
np.random.seed(7) で市場リターンとノイズの系列が毎回同じになります。種を変えると推定 β の揺れ方が変わるので、「推定平均が設定値に近い」という確認を複数の種で繰り返すと関数の信頼度が上がります。
9-10 行目520 営業日の市場リターンを作る
freq="B" は営業日（月〜金）で、520 日は約 2 年分です。平均 0.0004（日次 0.04%、年率約 10%）、標準偏差 0.01（日次 1%）は株価指数の日次リターンとして現実的な大きさです。
13-18 行目r_i = β × r_m + ε で銘柄リターンを合成する
CAPM の式そのままに、市場リターンに β を掛けて独自のノイズ residual を足しています。AAA は β 1.2 でノイズの標準偏差 1.2%、BBB は β 0.7 でノイズ 0.9% です。ノイズが大きいほど散布図の点が直線から散り、同じ窓幅でも推定 β が荒れます。
20 行目市場と 2 銘柄を 1 つの DataFrame に揃える
market 列と AAA・BBB 列を同じ日付索引で並べます。rolling_beta の中で benchmark.loc[x.index] と索引で突き合わせるので、ここで日付を共有していることが前提になります。

ローリング β を計算する関数 #

窓の中の共分散と分散の比として \( \beta = \text{Cov}(r_i, r_m) / \text{Var}(r_m) \) を求め、rolling().apply で窓を 1 日ずつずらします。

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def rolling_beta(asset: pd.Series, benchmark: pd.Series, window: int = 120) -> pd.Series:
    def _calc(x: pd.Series) -> float:
        ref = benchmark.loc[x.index]
        cov = np.cov(x, ref)[0, 1]
        var = np.var(ref)
        return cov / var if var > 0 else np.nan

    return asset.rolling(window).apply(_calc, raw=False)

betas = pd.DataFrame(
    {
        ticker: rolling_beta(returns[ticker], returns["market"])
        for ticker in ["AAA", "BBB"]
    }
)

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3 行目窓と同じ日付の市場リターンを索引で取り出す
rolling().apply に渡される x は銘柄側の窓だけなので、同じ期間の市場リターンを benchmark.loc[x.index] で取り出します。位置ではなく日付で突き合わせるので、欠損日があっても市場と銘柄の日付がずれません。この行のために raw=False が必要です。
4-5 行目共分散行列の非対角成分と市場の分散
np.cov(x, ref) は 2×2 の共分散行列を返し、[0, 1] が銘柄と市場の共分散です。np.var(ref) は市場リターンの分散です。np.cov は不偏（n−1 で割る）、np.var は標本（n で割る）と既定が違うため厳密には n/(n−1) 倍のずれが乗りますが、窓 120 では 1% 弱の差です。揃えるなら np.var(ref, ddof=1) にします。
6 行目分散 0 のときは NaN を返す
市場が窓の中でまったく動かなければ分散が 0 になり 0 除算が起きます。擬似データでは起きませんが、休場日が連続して同じ値が並ぶ実データでは起こりうるので、np.nan を返して後の dropna() で除けるようにしています。
8 行目rolling(window).apply で 1 日ずつずらす
window=120 では先頭 119 日は窓が埋まらず NaN になり、120 日目から値が出ます。raw=False にすると _calc に Series（索引付き）が渡され、raw=True だと ndarray になって x.index が使えません。速度は raw=True のほうが速いので、索引が不要な計算では切り替えます。
10-15 行目2 銘柄の β を列に並べる
辞書内包で AAA・BBB それぞれの β の Series を作り、DataFrame の列にします。列名が銘柄名なので、次の betas.plot で凡例にそのまま出ます。

β の推移を可視化 #

2 銘柄の β を折れ線で描き、β = 1 の基準線と比べます。

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fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.2))
betas.plot(ax=ax, linewidth=1.6)
ax.axhline(1.0, color="#ef4444", linestyle="--", linewidth=1, label="β=1")
ax.set_title("120営業日ローリングβ（サンプルデータ）")
ax.set_ylabel("β")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)

output = Path("static/images/finance/main/rolling_beta_trend.svg")
output.parent.mkdir(parents=True, exist_ok=True)
fig.tight_layout()
fig.savefig(output)

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2 行目DataFrame.plot で 2 銘柄を一度に描く
betas.plot は列ごとに 1 本の線を描き、先頭 119 日の NaN は自動で飛ばされます。横軸は日付索引から年月の目盛りになります。
3 行目β = 1 の破線がアグレッシブとディフェンシブの境目
axhline(1.0) の赤い破線より上にあれば市場より振れ幅が大きく、下なら小さいと読みます。AAA の線が 1 の上、BBB の線が 1 の下に分かれて推移すれば、設定した 1.2 と 0.7 に対応しています。
4-7 行目タイトルに窓幅を書いておく
β の値は窓幅で変わるので、タイトルに「120 営業日」と明記しています。grid(alpha=0.3) は 0.1 刻みの目盛線を薄く引き、β が 1.1 なのか 1.3 なのかを読み取りやすくします。
9-12 行目SVG に保存してページに貼る
static/images/finance/main/rolling_beta_trend.svg に保存し、下の画像として表示しています。ベクタ形式なので拡大しても線がぼやけません。

βの推移を可視化

実行結果の読み方 #

AAA の β は 1.0〜1.4 の間を揺れながら 1.2 の近くに、BBB は 0.5〜0.9 の間で 0.7 の近くに留まります。真の β は一定なのに線が揺れているのは、ノイズ residual が窓の中で偶然偏るためで、この揺れ幅がローリング β を読むときの「誤差の目安」になります。2 本の線が交わる場面が無いことから、120 日の窓なら β 1.2 と 0.7 の銘柄は確実に区別できると分かります。

ウィンドウ長の感度分析 #

窓を 60 日に短くすると β の変化がすぐ反映される一方でノイズも増え、250 日に長くすると滑らかになる代わりに構造変化への反応が遅れます。AAA について 3 つの窓幅を重ねて比べます。

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fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.2))

for w, color, ls in [(60, "#0ea5e9", "-"), (120, "#6366f1", "-"), (250, "#f97316", "--")]:
    rb = rolling_beta(returns["AAA"], returns["market"], window=w)
    ax.plot(rb.index, rb, linewidth=1.4, color=color, linestyle=ls, label=f"w={w}")

ax.axhline(1.0, color="#ef4444", linestyle="--", linewidth=0.8, alpha=0.5)
ax.set_title("AAA: ウィンドウ長によるローリングβの違い")
ax.set_ylabel("β")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
fig.tight_layout()
plt.show()

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3 行目60・120・250 営業日は約 3 か月・半年・1 年
3 つの窓幅はそれぞれ四半期、半年、1 年に相当し、実務でよく使われる区切りです。250 日の線だけ破線にして、他の 2 本と重なっても見分けられるようにしています。
4 行目同じ関数を window だけ変えて呼ぶ
rolling_beta の window 引数を変えるだけで窓幅の比較ができます。関数に窓幅を引数として持たせておいたのは、この感度分析のためです。
5 行目NaN の長さが窓幅で変わる
w=60 の線は 60 日目から、w=250 の線は 250 日目から始まります。ax.plot は NaN を描かないので、線の始点が右にずれることで「長い窓ほど最初の値が出るまで待つ時間が長い」ことも図から読めます。
7 行目基準線は薄くして 3 本の線を主役にする
alpha=0.5, linewidth=0.8 で β = 1 の線を前の図より控えめにしています。この図の目的は 3 本の線の滑らかさの違いなので、基準線は位置の目印に留めています。

実行結果の読み方 #

w=60 の線は 0.9〜1.5 まで大きく揺れ、w=250 の線は 1.1〜1.3 の狭い範囲に収まります。真の β が 1.2 で一定の擬似データでは長い窓のほうが正解に近く見えますが、実データで β が本当に変化したときは、長い窓はその変化を 250 日かけてゆっくり反映するので、どちらが良いかは「β の変化を捉えたいか、ノイズを抑えたいか」で決まります。

β の要約統計量 #

期間全体の β の平均・標準偏差を出し、データ生成時に設定した真の β（1.2 と 0.7）との乖離を確かめます。

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summary = betas.dropna().describe().round(3)
print(summary)
print()
print("設定値: AAA=1.2, BBB=0.7")
print(f"推定平均: AAA={betas['AAA'].mean():.3f}, BBB={betas['BBB'].mean():.3f}")

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1 行目dropna で先頭 119 日の NaN を除いてから集計する
describe() は NaN を自動で無視しますが、count の行に有効な日数（520 − 119 = 401）を正しく出すために明示的に落としています。round(3) は β を小数 3 桁に揃える指定です。
2 行目std の行が推定のばらつき
describe() の std は β の時系列の標準偏差で、0.1 前後なら「120 日窓の推定 β は ±0.1 程度揺れる」と読めます。min と max を見れば、最も外れた窓でも 1 を割っていないかを確認できます。
4-5 行目設定値と推定平均を並べて表示する
推定平均が 1.2 と 0.7 から 0.05 以内に収まっていれば、rolling_beta の計算（共分散 ÷ 分散）が正しく、揺れはノイズ由来だと結論できます。大きくずれる場合は np.cov と np.var の ddof の違いや索引のずれを疑います。

実務でのポイント #

窓幅やリターンの頻度（日次か週次か）は資産ごとに調整し、ボラティリティの高い資産は 250 日などの長い窓で平滑化すると β が安定します。ベンチマークは株価指数 1 本に限らず、金利やコモディティのリターンを並べて np.linalg.lstsq で同時に回帰すればマルチファクターモデルに拡張できます。ローリング β が 1.5 を超えたらポジションを縮小するといった閾値ルールに組み込むと、市場感応度の管理を自動化できます。β の急変動は決算発表や地政学イベントと重なることが多いので、イベントの日付と突き合わせると「なぜ変わったか」の解釈が深まります。

まとめ #

ローリング β は、直近 window 日の \( \text{Cov}(r_i, r_m) / \text{Var}(r_m) \) を rolling(window).apply(_calc, raw=False) で 1 日ずつずらして計算した時系列です。真の β を 1.2 と 0.7 に設定した擬似データでは、120 日窓の推定平均が設定値にほぼ一致し、揺れ幅は標準偏差 0.1 前後に収まりました。窓を 60 日にすると敏感だが荒く、250 日にすると滑らかだが遅れるので、β の変化を捉えたいのかノイズを抑えたいのかを決めてから窓幅を選びます。

ローリングβをヒートマップで可視化する — 複数銘柄のβを時系列ヒートマップで一覧比較