import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

1. Mengapa OLS sensitif terhadap outlier #

OLS meminimalkan jumlah kuadrat residual $$ \text{RSS} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2. $$ Karena residual dikuadratkan, satu titik ekstrem saja dapat mendominasi loss dan menyeret garis hasil fitting menuju outlier.

2. Loss Huber: kompromi antara kuadrat dan absolut #

Loss Huber memakai kuadrat untuk residual kecil dan absolut untuk residual besar. Untuk r = y - \hat y dan ambang $\delta > 0$:

$$ \ell_\delta(r) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}r^2, & |r| \le \delta \ \delta\left(|r| - \dfrac{1}{2}\delta\right), & |r| > \delta. \end{cases} $$

Turunannya (pengaruh) $$ \psi_\delta(r) = \frac{d}{dr}\ell_\delta(r) = \begin{cases} r, & |r| \le \delta \ \delta,\mathrm{sign}(r), & |r| > \delta, \end{cases} $$ sehingga gradien terklip untuk residual besar (outlier).

Catatan: di HuberRegressor scikit-learn, ambang disebut epsilon (sesuai $\delta$ di atas).

3. Visualisasi bentuk loss #

def huber_loss(r: np.ndarray, delta: float = 1.5):
    half_sq = 0.5 * np.square(r)
    lin = delta * (np.abs(r) - 0.5 * delta)
    return np.where(np.abs(r) <= delta, half_sq, lin)

delta = 1.5
r_vals = np.arange(-2, 2, 0.01)
h_vals = huber_loss(r_vals, delta=delta)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(r_vals, np.square(r_vals), "red",   label=r"kuadrat $r^2$")
plt.plot(r_vals, np.abs(r_vals),    "orange",label=r"absolut $|r|$")
plt.plot(r_vals, h_vals,            "green", label=fr"Huber ($\delta={delta}$)")
plt.axhline(0, color="k", linewidth=0.8)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.xlabel("residual $r$")
plt.ylabel("loss")
plt.title("Kuadrat vs absolut vs Huber")
plt.show()

4. Apa yang terjadi bila ada outlier? (data) #

Buat masalah linear 2 fitur dan suntikkan satu outlier ekstrem pada y.

np.random.seed(42)

N = 30
x1 = np.arange(N)
x2 = np.arange(N)
X = np.c_[x1, x2]                      # (N, 2)
epsilon = np.random.rand(N)            # noise [0, 1)
y = 5 * x1 + 10 * x2 + epsilon * 10

y[5] = 500  # satu outlier sangat besar

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, y, "ko", label="data")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Dataset dengan outlier")
plt.show()

5. Bandingkan OLS vs Ridge vs Huber #

• OLS: sangat sensitif terhadap outlier.
• Ridge (L2): mengecilkan koefisien; sedikit lebih stabil, tetap terpengaruh.
• Huber: mengklip pengaruh outlier; garis kurang terseret.

from sklearn.linear_model import HuberRegressor, Ridge, LinearRegression

plt.figure(figsize=(8, 6))

# Huber: epsilon=3 untuk mengurangi pengaruh outlier
huber = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=3.0)
huber.fit(X, y)
plt.plot(x1, huber.predict(X), "green", label="Huber")

# Ridge (L2). Dengan alpha≈0, mirip OLS
ridge = Ridge(alpha=1.0, random_state=0)
ridge.fit(X, y)
plt.plot(x1, ridge.predict(X), "orange", label="Ridge (α=1.0)")

# OLS
lr = LinearRegression()
lr.fit(X, y)
plt.plot(x1, lr.predict(X), "r-", label="OLS")

# data mentah
plt.plot(x1, y, "kx", alpha=0.7)

plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Dampak outlier pada garis hasil fitting")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

Interpretasi:

• OLS (merah) sangat terseret oleh outlier.
• Ridge (oranye) sedikit meredakan namun tetap terpengaruh.
• Huber (hijau) mengurangi pengaruh outlier dan mengikuti tren keseluruhan lebih baik.

6. Parameter: epsilon dan alpha #

• epsilon (ambang $\delta$):
  • Lebih besar → mendekati OLS; lebih kecil → mendekati loss absolut.
  • Bergantung skala residual; lakukan standardisasi atau robust scaling.
• alpha (penalti L2):
  • Menstabilkan koefisien; berguna pada kolinearitas.

Sensitivitas terhadap epsilon:

from sklearn.metrics import mean_squared_error

for eps in [1.2, 1.5, 2.0, 3.0]:
    h = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=eps).fit(X, y)
    mse = mean_squared_error(y, h.predict(X))
    print(f"epsilon={eps:>3}: MSE={mse:.3f}")

7. Catatan praktis #

• Penskalaan: jika skala fitur/target berbeda, makna epsilon berubah; lakukan standardisasi atau robust scaling.
• Titik leverage tinggi: Huber robust untuk outlier vertikal di y, tidak selalu untuk titik ekstrem di X.
• Pemilihan ambang: atur epsilon dan alpha (misalnya GridSearchCV).
• Evaluasi dengan CV: jangan hanya melihat kecocokan pada data latih.

8. Ringkasan #

• OLS sensitif terhadap outlier; garis hasil fitting dapat terseret.
• Huber memakai kuadrat untuk error kecil dan absolut untuk error besar, mengklip gradien untuk outlier.
• Menyetel epsilon dan alpha menyeimbangkan robustness dan kecocokan.
• Waspada titik leverage; kombinasikan dengan inspeksi dan praproses bila perlu.