StandardScaler と偏差値はどう関係していますか？

ほぼ同じ計算です。StandardScaler は (値 − 平均) ÷ 標準偏差で z スコアを求め、偏差値はその z を 10 倍して 50 を足したものです。平均 0・標準偏差 1 が z、平均 50・標準偏差 10 が偏差値です。

変換後の値はどんな範囲になりますか？

決まった範囲はありませんが、ほとんどの値が −3〜3 に入ります。0 が平均、±1 が平均から標準偏差 1 個分離れた位置という意味で、マイナスは平均より下を表します。

いつ MinMaxScaler ではなく StandardScaler を使いますか？

値を 0〜1 に収める必要がなく、平均からの離れ方で比べたいときです。複数の項目を同じ重みで扱いたい距離ベースの手法や、散らばりの大きさをそろえたい線形モデルの前処理に向きます。

StandardScaler で平均0・分散1に正規化する（高校生向け）

入門高校生

01.3.3 高校生向け

StandardScaler で平均0・分散1に正規化する（高校生向け）

Q: StandardScaler と偏差値はどう関係していますか？

ほぼ同じ計算です。StandardScaler は (値 − 平均) ÷ 標準偏差 で z スコアを求め、偏差値はその z を 10 倍して 50 を足したものです。平均 0・標準偏差 1 が z、平均 50・標準偏差 10 が偏差値です。

最終更新 2026-11-01 読了時間 2 分

まとめ

StandardScaler は、各項目から平均を引き、標準偏差で割ることで、どの項目も平均 0・標準偏差 1 にそろえる変換です（標準化）。変換後の値 $z$ は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表し、高校で習う偏差値は $50 + 10z$ なので中身は同じ計算です。散布図でいえば、点のかたまりが原点に移動し、縦横の広がりが同じ 1 になるだけで、点どうしの並び方（相関の形）は変わりません。距離や内積で「近さ」を測るモデルに入れる前に、項目ごとの単位の差を消すために使います。

こんな場面を想像してみよう #

数学と英語のテストが返ってきました。どちらも 80 点です。素直に喜んでいいでしょうか。

	自分の点	クラス平均	標準偏差
数学	80	60	20
英語	80	70	5

数学は平均より 20 点上ですが、クラス全体が 20 点幅でばらついているので「標準偏差 1 個分だけ上」。英語は平均より 10 点上なだけですが、全員が 70 点前後に固まっている中での 10 点差なので「標準偏差 2 個分も上」。同じ 80 点でも、英語のほうがはるかに目立つ成績です。

「平均からの差を、散らばりの大きさで割る」と、科目ごとの難しさや点数の散らばりのちがいを消して比べられます。StandardScaler がやっているのは、この偏差値の計算をデータの全項目にいっせいに行うことです。

変換前は身長 cm と体重 kg の散布図で点のかたまりが (170, 65) 付近に斜めに広がっているが、StandardScaler 適用後は同じ形のかたまりが原点 (0, 0) を中心に移動し、縦横ともに -3〜3 の範囲に収まっている

上の図の左は、身長（cm）と体重（kg）の散布図です。点のかたまりは横軸 170・縦軸 65 のあたりに浮いていて、横軸と縦軸の目盛りの意味もちがいます。右が変換後。かたまりがそのまま原点 (0, 0) に引っ越し、横も縦も「−3〜3」の同じ目盛りになりました。点の並び方（かたまりの形）は左右でまったく同じで、変わったのは目盛りが cm・kg から z スコアになったことだけです。

仕組み：平均を引いて、標準偏差で割る #

まず、項目ごとに平均 $\mu$ を求めます。散布図では、かたまりの中心の位置です。次に、すべての点から $\mu$ を引きます。かたまりがまるごと平行移動して中心が 0 に来る操作で、これを中心化といい、形は変わりません。続けて、標準偏差 $\sigma$ を求めてそれで割ります。かたまりの広がりが横方向・縦方向ともに 1 に伸び縮みし、広がりの大きかった項目は縮み、小さかった項目は引き伸ばされます。最後に、できた値を z スコアと呼びます。$z = 1$ なら「平均より標準偏差 1 個分だけ上」、$z = -2$ なら「2 個分下」と読みます。

項目ごとに平均 μ を求めるすべての点から μ を引く（中心が 0 に）標準偏差 σ で割る（広がりが 1 に）できた値を z スコアと呼ぶ

$$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$

さきほどのテストなら、数学は $z = (80-60)/20 = 1$、英語は $z = (80-70)/5 = 2$。偏差値に直すと 60 と 70 です。5 人の点数で、この式をそのまま計算してみます。

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2
3
4
5
6
scores = [45, 60, 70, 85, 90]
m = sum(scores) / len(scores)                              # 平均 70
sd = (sum((s - m) ** 2 for s in scores) / len(scores)) ** 0.5
z = [(s - m) / sd for s in scores]
print("mean =", m, "sd =", round(sd, 2))                   # mean = 70.0 sd = 16.43
print([round(v, 2) for v in z])                            # [-1.52, -0.61, 0.0, 0.91, 1.22]

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

2 行目平均がかたまりの中心
sum(scores) / len(scores) で平均 70 を求めます。この 70 を全員から引くことで、70 点の人がちょうど 0、それより上の人がプラス、下の人がマイナスになります。
3 行目標準偏差は「ずれの 2 乗の平均」の平方根
(s - m) ** 2 が各人の平均からのずれの 2 乗、その平均が分散（約 270）、** 0.5 で平方根を取ると標準偏差 16.43 です。数学Iで習う定義どおりの計算で、この値が「1 目盛りの長さ」になります。scikit-learn の StandardScaler も既定ではこの len(scores) で割る式（母標準偏差）を使います。
4 行目引いて割れば z スコア
(s - m) / sd が本文の式 $z = (x - \mu)/\sigma$ そのものです。全員に同じ引き算と割り算をするので、点数の順位も、点差の比も変わりません。偏差値にしたいなら、この値を 10 倍して 50 を足すだけです。
6 行目結果は平均 0 のまわりに散る
出力 [-1.52, -0.61, 0.0, 0.91, 1.22] を見ると、70 点の人が 0、90 点の人が 1.22（偏差値 62.2）です。5 つの z を足すとちょうど 0 になります。平均を引いたので、プラスとマイナスが必ず打ち消し合うからです。

動かして見てみよう #

下の図で「再生」を押すと、説明した手順が 1 つずつ進みます。手順ごとの説明は図の下に出ます。

気をつけたいこと #

最初の注意は、外れ値（極端に離れた 1 点）に引っぱられることです。平均も標準偏差も 1 つの極端な値で大きく動き、すると外れ値以外の点の z がぜんぶ 0 の近くに縮んでしまいます。外れ値が多いなら中央値と四分位範囲を使う RobustScaler が安全です。二つ目は、形がゆがんだ分布は z スコアにしてもゆがんだままだということです。平均 0・標準偏差 1 にそろえても、山の片側に長い裾があればそのままで、「標準化すれば正規分布になる」は誤解です。三つ目は、平均と標準偏差は訓練データで決めて使い回すことです。テストのたびに平均を取り直すと、同じ z = 1 が別の意味になります。機械学習では学習に使ったデータの $\mu, \sigma$ を保存して、新しいデータにも同じ値を当てます。

やってみよう #

最初の課題は、最近の定期テスト 2 科目について、自分の点・クラス平均・標準偏差（先生に聞くか、公開されていれば）から z を計算し、どちらが「クラス内では良い成績」か比べることです。二つ目は、上のコードの scores を自分の身近な数（友だち 5 人の通学時間など）に変えて、z の合計が 0 になることを確かめることです。三つ目は、5 人の点数に 1 人だけ 0 点を混ぜたら、ほかの 4 人の z がどう変わるか予想して計算で確かめることです。外れ値に弱い理由が見えてきます。

つぎに読む #

定義の一般形と scikit-learn での実装、逆変換の方法は標準版の StandardScaler で扱っています。「0〜1 に収める」別のそろえ方は MinMaxScaler（高校生向け）、外れ値に強い方法は RobustScaler（高校生向け）へ進んでください。単位のちがいが「距離」をゆがめる実例は k 近傍法（高校生向け）で確かめられます。