Análise Discriminante Linear (LDA)

Atualizado 2020-03-11 Leitura 3 min

Resumo

A LDA encontra direções que maximizam a razão entre a variância entre classes e a variância dentro das classes, servindo tanto para classificação quanto para redução de dimensionalidade.
A fronteira de decisão tem a forma $\mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b = 0$, que se torna uma reta em 2D ou um plano em 3D, fornecendo uma interpretação geométrica clara.
Assumindo que cada classe segue uma distribuição gaussiana com a mesma matriz de covariância, a LDA se aproxima do classificador ótimo de Bayes.
A LinearDiscriminantAnalysis do scikit-learn facilita a visualização das fronteiras de decisão e a inspeção das características projetadas.

Intuição #

Este método deve ser interpretado por meio de suas suposições, condições dos dados e como as escolhas de parâmetros afetam a generalização.

Explicação Detalhada #

Formulação Matemática #

Para o caso de duas classes, a direção de projeção $\mathbf{w}$ maximiza

$$ J(\mathbf{w}) = \frac{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_B \mathbf{w}}{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_W \mathbf{w}}, $$

onde $\mathbf{S}_B$ é a matriz de dispersão entre classes e $\mathbf{S}_W$ é a matriz de dispersão dentro das classes. No caso multiclasse, obtemos até $K-1$ direções de projeção, que podem ser usadas para redução de dimensionalidade.

Experimentos em Python #

Abaixo aplicamos a LDA a um conjunto de dados sintético de duas classes, traçamos a fronteira de decisão e plotamos as características projetadas em 1D. A chamada de transform retorna diretamente os dados projetados.

from __future__ import annotations

import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.metrics import accuracy_score

def run_lda_demo(
    n_samples: int = 200,
    random_state: int = 42,
    title_boundary: str = "LDA decision boundary",
    title_projection: str = "One-dimensional projection by LDA",
    xlabel: str = "feature 1",
    ylabel: str = "feature 2",
    hist_xlabel: str = "projected feature",
    class0_label: str = "class 0",
    class1_label: str = "class 1",
) -> dict[str, float]:
    """Train LDA on synthetic blobs and plot boundary plus projection."""
    japanize_matplotlib.japanize()
    X, y = make_blobs(
        n_samples=n_samples,
        centers=2,
        n_features=2,
        cluster_std=2.0,
        random_state=random_state,
    )

    clf = LinearDiscriminantAnalysis(store_covariance=True)
    clf.fit(X, y)

    accuracy = float(accuracy_score(y, clf.predict(X)))
    w = clf.coef_[0]
    b = float(clf.intercept_[0])

    xs = np.linspace(X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1, 300)
    ys_boundary = -(w[0] / w[1]) * xs - b / w[1]

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
    ax.set_title(title_boundary)
    ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap="coolwarm", edgecolor="k", alpha=0.8)
    ax.plot(xs, ys_boundary, "k--", lw=1.2, label="w^T x + b = 0")
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_ylabel(ylabel)
    ax.legend(loc="best")
    ax.grid(alpha=0.25)
    fig.tight_layout()
    plt.show()

    X_proj = clf.transform(X)[:, 0]

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
    ax.set_title(title_projection)
    ax.hist(X_proj[y == 0], bins=20, alpha=0.7, label=class0_label)
    ax.hist(X_proj[y == 1], bins=20, alpha=0.7, label=class1_label)
    ax.set_xlabel(hist_xlabel)
    ax.legend(loc="best")
    ax.grid(alpha=0.25)
    fig.tight_layout()
    plt.show()

    return {"accuracy": accuracy}

metrics = run_lda_demo(
    title_boundary="LDA decision boundary",
    title_projection="One-dimensional projection by LDA",
    xlabel="feature 1",
    ylabel="feature 2",
    hist_xlabel="projected feature",
    class0_label="class 0",
    class1_label="class 1",
)
print(f"Training accuracy: {metrics['accuracy']:.3f}")

A chamada de transform retorna diretamente os dados projetados figura

Referências #

Fisher, R. A. (1936). The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems. Annals of Eugenics, 7(2), 179–188.
Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The Elements of Statistical Learning. Springer.