Regressão robusta

Atualizado 2020-02-26 Leitura 4 min

Resumo

O método dos mínimos quadrados ordinários (OLS) reage fortemente a outliers porque os resíduos quadrados explodem, de modo que uma única medição errônea pode distorcer todo o ajuste.
A função de perda de Huber mantém a perda quadrática para resíduos pequenos, mas muda para uma penalidade linear para resíduos grandes, reduzindo a influência de pontos extremos.
O ajuste do limiar $\delta$ (epsilon no scikit-learn) e da penalidade L2 opcional $\alpha$ equilibra robustez contra variância.
A combinação de escalonamento com validação cruzada produz modelos estáveis em conjuntos de dados do mundo real que frequentemente misturam pontos nominais e anomalias.

Intuição #

Este método deve ser interpretado através de suas suposições, condições dos dados e como as escolhas de parâmetros afetam a generalização.

Explicação Detalhada #

Formulação Matemática #

Seja o resíduo $r = y - \hat{y}$. Para um limiar escolhido $\delta > 0$, a função de perda de Huber é

$$ \ell_\delta(r) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} r^2, & |r| \le \delta, \\ \delta \bigl(|r| - \dfrac{1}{2}\delta\bigr), & |r| > \delta. \end{cases} $$

Resíduos pequenos são elevados ao quadrado exatamente como no OLS, mas resíduos grandes crescem apenas linearmente. A função de influência (a derivada) portanto satura:

$$ \psi_\delta(r) = \begin{cases} r, & |r| \le \delta, \\ \delta\,\mathrm{sign}(r), & |r| > \delta. \end{cases} $$

No scikit-learn, o limiar corresponde ao parâmetro epsilon. Adicionar uma penalidade L2 $\alpha \lVert \boldsymbol\beta \rVert_2^2$ estabiliza ainda mais os coeficientes quando as variáveis estão correlacionadas.

Experimentos em Python #

Visualizamos as formas das funções de perda e comparamos OLS, Ridge e Huber em um pequeno conjunto de dados sintético que contém um único outlier extremo.

1
2
3
import japanize_matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

Perda de Huber versus perda quadrática e absoluta #

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
def huber_loss(r: np.ndarray, delta: float = 1.5):
    half_sq = 0.5 * np.square(r)
    lin = delta * (np.abs(r) - 0.5 * delta)
    return np.where(np.abs(r) <= delta, half_sq, lin)

delta = 1.5
r_vals = np.arange(-2, 2, 0.01)
h_vals = huber_loss(r_vals, delta=delta)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(r_vals, np.square(r_vals), "red",   label=r"squared $r^2$")
plt.plot(r_vals, np.abs(r_vals),    "orange",label=r"absolute $|r|$")
plt.plot(r_vals, h_vals,            "green", label=fr"Huber ($\delta={delta}$)")
plt.axhline(0, color="k", linewidth=0.8)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.xlabel("residual $r$")
plt.ylabel("loss")
plt.title("Squared, absolute, and Huber losses")
plt.show()

Conjunto de dados de exemplo com um outlier #

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
np.random.seed(42)

N = 30
x1 = np.arange(N)
x2 = np.arange(N)
X = np.c_[x1, x2]
epsilon = np.random.rand(N)
y = 5 * x1 + 10 * x2 + epsilon * 10

y[5] = 500  # introduce one extreme outlier

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, y, "ko", label="data")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Data containing an outlier")
plt.show()

Comparação entre OLS, Ridge e Huber #

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
from sklearn.linear_model import HuberRegressor, Ridge, LinearRegression

plt.figure(figsize=(8, 6))

huber = HuberRegressor(alpha=0.0, epsilon=3.0)
huber.fit(X, y)
plt.plot(x1, huber.predict(X), "green", label="Huber")

ridge = Ridge(alpha=1.0, random_state=0)
ridge.fit(X, y)
plt.plot(x1, ridge.predict(X), "orange", label="Ridge (α=1.0)")

ols = LinearRegression()
ols.fit(X, y)
plt.plot(x1, ols.predict(X), "r-", label="OLS")

plt.plot(x1, y, "kx", alpha=0.7)
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$y$")
plt.legend()
plt.title("Influence of an outlier on different regressors")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

Interpretação dos resultados #

O OLS (vermelho) é fortemente puxado pelo outlier.
O Ridge (laranja) é ligeiramente mais estável graças à penalidade L2, mas ainda desvia.
O Huber (verde) limita o impacto do outlier e segue melhor a tendência principal.

Referências #

Huber, P. J. (1964). Robust Estimation of a Location Parameter. The Annals of Mathematical Statistics, 35(1), 73–101.
Hampel, F. R. et al. (1986). Robust Statistics: The Approach Based on Influence Functions. Wiley.
Huber, P. J., & Ronchetti, E. M. (2009). Robust Statistics (2nd ed.). Wiley.