Z スコアとは何ですか？

(値 − 平均) ÷ 標準偏差で求める数で、「平均から標準偏差いくつ分はなれているか」を表します。偏差値から 50 を引いて 10 で割ったものと同じで、0 が平均、±1 が標準偏差 1 個分です。

閾値はなぜ 2 や 2.5、3 がよく使われるのですか？

データが正規分布に近いとき、|z| が 2 を超える値は約 4.6 %、2.5 を超える値は約 1.2 %、3 を超える値は約 0.3 % しかないからです。「めったに起きないほど離れている」の基準として使いやすい数です。

Z スコアで見つからない異常はありますか？

あります。季節の波や曜日の周期で値が大きく動くデータでは、標準偏差が波の分だけ大きくなり、小さな異常が隠れます。先に周期の成分を取り除いてから Z スコアを計算すると見つけやすくなります。

Zスコアで異常値を検出（高校生向け）

入門高校生

04.4.2 高校生向け

Zスコアで異常値を検出（高校生向け）

Q: Z スコアとは何ですか？

(値 − 平均) ÷ 標準偏差 で求める数で、「平均から標準偏差いくつ分はなれているか」を表します。偏差値から 50 を引いて 10 で割ったものと同じで、0 が平均、±1 が標準偏差 1 個分です。

最終更新 2026-11-01 読了時間 2 分

まとめ

Z スコアは $z = (x - \mu)/\sigma$、つまり「平均から標準偏差いくつ分はなれているか」を表す数です。異常値検出では、すべての観測値の $z$ を計算し、$|z|$ が閾値（2.5 や 3）を超えた点を「異常」として印をつけます。グラフでいえば、平均の高さに中心線を引き、その上下に標準偏差 2.5 個分の帯をかぶせて、帯の外に飛び出した点だけが赤くなるという絵です。180 日の歩数や売上のような記録から、「ふだんとちがう日」を人の目に頼らず自動で見つけられます。

こんな場面を想像してみよう #

スマートウォッチで毎日の歩数を半年分記録しました。ふだんは 8,000〜12,000 歩ですが、遠足の日は 25,000 歩、熱で寝込んだ日は 1,500 歩でした。こうした「ふだんとちがう日」を自動で見つけるには、どんなルールを書けばよいでしょう。

「5,000 歩以上はなれたら異常」と決めても、毎日 20,000 歩歩く部活生には通用しません。そこで**「はなれ方」を、そのデータ自身の散らばり（標準偏差）を単位にして測る**。これが Z スコアの発想です。

日付を横軸にした青い折れ線が 100 のまわりで周期的に上下しており、途中の 2 日だけ大きく飛び出した点が赤い丸で「異常値」として強調されている

上の図は 180 日分の値（青い線）です。線は 100 を中心に 90〜110 の間で波打っていますが、60 日目あたりで 125 近くまで跳ね、140 日目あたりで 80 近くまで落ちています。Z スコアを計算して $|z| > 2.5$ の点だけに赤い印をつけると、ちょうどその 2 日だけが赤くなり、ふだんの波の山や谷は赤くなりません。

仕組み：平均の帯からの飛び出しを測る #

まず、全部の値の平均 $\mu$ を求めます。グラフでは、青い線のまん中を通る水平な中心線で、図では 100 のあたりです。次に標準偏差 $\sigma$ を求めます。青い線が中心線からふだんどれくらいはなれて上下しているか、その「ふつうの幅」です。続いて各日の Z スコア $z = (x - \mu)/\sigma$ を計算します。中心線の上なら正、下なら負で、中心線から標準偏差 1 個分はなれると $z = \pm 1$ です。最後に閾値を決めて判定します。$|z| > 2.5$ なら異常で、グラフでは中心線の上下に $2.5\sigma$ の帯をかぶせて、帯の外に出た点だけを赤く塗るのと同じです。

$$ z_t = \frac{x_t - \mu}{\sigma}, \qquad |z_t| > 2.5 \ \Rightarrow\ \text{異常} $$

全部の値平均 μ を出す標準偏差 σ を出す各日の z = (x − μ)/σ |z| > 2.5 の日だけ赤く塗る

10 個の数で同じ計算を手で追えるのが、次の短いコードです。8 番目の 125 だけが「異常」になるはずです。

1
2
3
4
5
6
x = [98, 102, 99, 101, 100, 97, 103, 125, 100, 99]
m = sum(x) / len(x)                                   # 平均 102.4
sd = (sum((v - m) ** 2 for v in x) / len(x)) ** 0.5   # 標準偏差 7.7
z = [(v - m) / sd for v in x]
print("mean =", round(m, 1), "sd =", round(sd, 1))    # mean = 102.4 sd = 7.7
print([i for i, v in enumerate(z) if abs(v) > 2.5])   # [7]

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目異常を 1 個だけ混ぜた 10 個の値
9 個は 97〜103 のふだんの値で、8 番目（添字 7）の 125 だけが飛び出しています。こうして答えを知っている数で試すと、計算結果の [7] が正しいかどうかを自分で確かめられます。125 を 105 に変えると $z$ は約 2.0 に下がり、閾値 2.5 を超えなくなります。
2-3 行目平均と標準偏差を式のとおりに計算する
sum(x) / len(x) が平均 $\mu$、(v - m) ** 2 の平均の平方根が標準偏差 $\sigma$ で、数学Iの定義そのままです。125 が混ざっているので平均は 100 ではなく 102.4、標準偏差は 2 程度ではなく 7.7 になっています。異常値が自分で物差しを大きくしてしまう、という落とし穴がここに出ています。
4 行目10 個すべての z を一度に出す
リスト内包表記で各値から平均を引き、標準偏差で割っています。結果は「標準偏差いくつ分はなれているか」の 10 個の数で、125 は $(125 - 102.4)/7.7 \approx 2.9$、ふだんの値は $-0.7 \sim 0.1$ の範囲に収まります。
6 行目閾値 2.5 を超えた添字だけを取り出す
abs(v) > 2.5 で絶対値を見ているので、大きすぎる値も小さすぎる値も同じ基準で拾います。閾値を 2.0 に下げても今回は [7] のままですが、正規分布では約 4.6 % の日が引っかかるので、180 日なら 8 日前後がふだんの揺れなのに赤くなります。

8 番目の値 125 だけが $z \approx 2.9$ で閾値を超え、異常と判定されます。

動かして見てみよう #

下の図で「再生」を押すと、説明した手順が 1 つずつ進みます。手順ごとの説明は図の下に出ます。

気をつけたいこと #

最初の落とし穴は、異常値が平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ を引っぱることです。125 のような極端な値が混ざるほど、平均も標準偏差も大きくなり、その異常値自身の $z$ は小さく見積もられます。異常がたくさん混ざったデータでは、中央値と四分位範囲を使う方法（RobustScaler と同じ発想）のほうが安定します。二つ目は、周期的な波は異常ではないのに標準偏差 $\sigma$ を膨らませることです。季節や曜日の周期による波は「ふだんの動き」ですが、標準偏差はこの波の分まで含んで計算されるので、小さめの異常が帯の中に隠れます。先に波の成分を取り除いてから Z スコアを計算すると見つけやすくなります。三つ目は、閾値に正解がないことです。2.5 を 2 に下げれば見逃しは減りますが、ふだんの揺れを誤って異常と呼ぶ回数（誤検知）が増えるので、「見逃しと誤検知のどちらが困るか」で決めます。

やってみよう #

最初の課題は、自分の 2 週間分の歩数（または睡眠時間）を記録して平均と標準偏差を計算し、各日の $z$ を求めることです。$|z| > 2$ の日はあったか、その日に何があったかを振り返ってみてください。二つ目は、上のコードの x に「異常値を 1 個ではなく 3 個」混ぜて実行し、平均と標準偏差がどう変わるか、3 個すべてが検出されるかを確かめることです。三つ目は思考実験で、「毎週日曜だけ歩数が倍になる人」のデータを想像します。日曜の値は異常と呼ぶべきか、呼ぶべきでないか、Z スコアだけで判定するとどんな問題が起きるかを説明してみてください。

つぎに読む #

pandas と matplotlib で時系列を描き、異常点に印をつける実装は標準版の Z スコアで異常値を検出で扱っています。Z スコアそのものを「前処理」として使う話は StandardScaler（高校生向け）、外れ値に引っぱられない中央値版は RobustScaler（高校生向け）へ進んでください。欠損や平均の切り替わりなど、ほかのデータ品質チェックは時系列のデータ品質のセクションにまとめています。