ETS モデルでトレンドと季節性を分離

最終更新 2020-08-02 読了時間 3 分

まとめ

ETS は Error（誤差）・Trend（トレンド）・Seasonal（季節）の頭文字で、指数平滑法の仲間を「誤差は加法か乗法か」「トレンドは無し・加法・減衰か」「季節は無し・加法・乗法か」の 3 文字で分類する枠組みです。たとえば ETS(A,A,A) は加法誤差・加法トレンド・加法季節で、Holt-Winters 加法型と同じ更新式になります。このページでは、月 1.5 の上昇と振幅 8・周期 12 の季節波を持つ 60 か月の系列を先頭 48 か月で学習し、ExponentialSmoothing(trend="add", seasonal="add", seasonal_periods=12) で残り 12 か月を予測して実測と比べます。読み終えると、3 文字の組み合わせをデータの形から選び、fit() が返す α・β・γ を成分ごとの「記憶の長さ」として読めるようになります。

ホルト・ウィンター法で水準・傾き・季節の 3 成分を α・β・γ で更新する仕組みを先に見ておくと、ETS はその分類表として読めます。

直感 #

月次の売上を「ふだんの水準」「毎月の増え方」「月ごとの季節のクセ」「それでも説明できない誤差」の 4 つに分けて考えるのが ETS の発想です。Holt-Winters 法が水準・傾き・季節の 3 つを更新するのは同じですが、ETS は「誤差が足し算で乗るのか（A）、水準に比例して大きくなるのか（M）」まで明示します。この 1 文字を決めると予測区間の広がり方が決まるので、点予測だけでなく「来年 8 月は 150 ± 10」のような幅を出せるのが ETS の利点です。このページのデータは季節の振幅が 8 で一定、ノイズの標準偏差が 2.5 で一定なので、3 文字とも A の ETS(A,A,A) が自然な選択になります。

観測 y_t 水準 ℓ_t を α で更新傾き b_t を β で更新季節 s_t を γ で更新予測 = ℓ_t + h b_t + s_(t+h−12) 誤差の型（A/M）で予測区間の幅を決める

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：水準 → 傾き → 季節と要素を足すほど、未来への伸ばし方が豊かになる。ETS(A,A,A) はこの 3 つをすべて足し算で持った形で、3 段目の予測線に対応する。

式で書くと ETS(A,A,A) は何をしているか #

加法誤差・加法トレンド・加法季節の ETS(A,A,A) は、1 期先予測の誤差 $e_t = y_t - (\ell_{t-1} + b_{t-1} + s_{t-12})$ を使って

$$ \begin{aligned} \ell_t &= \ell_{t-1} + b_{t-1} + \alpha\, e_t \\ b_t &= b_{t-1} + \beta\, e_t \\ s_t &= s_{t-12} + \gamma\, e_t \\ \hat{y}_{t+h} &= \ell_t + h\, b_t + s_{t+h-12} \end{aligned} $$

と書けます。3 つの成分がどれも「前の値 + 係数 × 同じ誤差 $e_t$」の形で更新される点が ETS の見やすさで、α・β・γ は「今月の外れをどの成分にどれだけ振り分けるか」を表します。乗法誤差 ETS(M,A,A) では $e_t$ が比率 $y_t / \hat{y}_t - 1$ に変わり、水準が大きいほど予測区間が広がります。このページのデータは $y_t = 100 + 1.5t + 8\sin(2\pi t/12) + \varepsilon_t$ なので、正解の傾きは 1.5、季節の振幅は 8 です。

Python で ETS(A,A,A) を学習して 12 か月先を予測する #

次のコードは、60 か月の系列を先頭 48 か月で学習し、加法トレンド・加法季節のモデルで残り 12 か月を予測して、実測（薄い青）・学習区間（青）・予測（橙）を重ねます。

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import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing

rng = np.random.default_rng(23)
dates = pd.date_range("2018-01-01", periods=5 * 12, freq="M")
trend = 1.5 * np.arange(len(dates))
seasonal = 8 * np.sin(2 * np.pi * np.arange(len(dates)) / 12)
noise = rng.normal(0, 2.5, size=len(dates))
series = pd.Series(100 + trend + seasonal + noise, index=dates)

train = series.iloc[:-12]
test_index = series.index[-12:]

model = ExponentialSmoothing(
    train,
    trend="add",
    seasonal="add",
    seasonal_periods=12,
).fit()

forecast = model.forecast(steps=12)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))
ax.plot(series.index, series, color="#cbd5f5", label="実測値（全体）")
ax.plot(train.index, train, color="#2563eb", linewidth=1.2, label="学習区間")
ax.plot(test_index, forecast, color="#f97316", linewidth=1.6, label="ETS 予測")
ax.set_title("ETS モデルによる予測")
ax.set_xlabel("年月")
ax.set_ylabel("値")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)

fig.tight_layout()
fig.savefig("static/images/timeseries/ets_model.svg")

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

7-11 行目5 年分の月次データを 3 成分 + ノイズで作る
2018 年 1 月から 60 か月の月末日付に、水準 100、月 1.5 の上昇、振幅 8・周期 12 の季節波、標準偏差 2.5 のノイズを足しています。季節の振幅もノイズの大きさも水準に比例せず一定なので、「すべて加法」の ETS(A,A,A) が正解に近い構造です。振幅を (1 + 0.01 * np.arange(60)) 倍のように水準とともに広げれば、乗法季節 seasonal="mul" の出番になります。
13-14 行目最後の 12 か月を答え合わせ用に残す
先頭 48 か月（4 周期）で学習し、末尾 12 か月（1 周期）を予測と比べます。季節係数を安定して推定するには学習データに 2 周期以上が必要で、48 か月あれば月ごとの係数を 4 回分の平均から決められます。時間順に切るのは、未来の季節パターンを学習に混ぜないためです。
16-21 行目trend と seasonal の 2 引数が ETS の T と S
trend="add" が加法トレンド（T = A）、seasonal="add" が加法季節（S = A）で、ExponentialSmoothing は誤差の型を区別しないため E は暗黙に A です。damped_trend=True を加えると傾きが先に行くほど弱まる ETS(A,Ad,A) になり、長期予測で直線が無限に伸びる問題を抑えられます。誤差の型を M にして予測区間まで出したい場合は statsmodels.tsa.exponential_smoothing.ets.ETSModel(error="mul", ...) を使います。
23 行目forecast は 12 か月分を傾き + 季節で伸ばす
forecast(steps=12) は学習区間末の水準に月 1.5 前後の傾きを足し、12 か月分の季節係数を順番に加えた予測を返します。学習区間が 4 周期あるので、季節係数は各月 4 回分の平均に近く、予測の山と谷は過去と同じ月に現れます。steps=24 にすれば 2 年目も同じ季節形が傾きの分だけ持ち上がって繰り返されます。
26-28 行目全体を薄く、学習区間を濃く、予測を橙で
60 か月全体を薄い青で残しているのは、予測した 12 か月の答え（実測）を同じ位置で見比べるためです。学習区間だけを濃くすることで「モデルが見た範囲」の境目が分かり、橙の予測線が薄い青からどれだけ外れているかがそのまま誤差になります。

ETS モデルでトレンドと季節性を分離の図

実行結果の読み方 #

青の学習区間は 100 付近から 4 年で約 170（100 + 1.5 × 47）まで上がりながら、振幅 8 の季節波を 4 回繰り返します。橙の予測線はその続きとして、月 1.5 前後の傾きで上がりつつ 5 周期目の山と谷を描き、薄い青の実測とおおむね重なります。予測と実測のずれは標準偏差 2.5 のノイズが主で、特定の月だけ大きく外れるならその月の季節係数が 4 回分の平均ではうまく決まらなかった、と読みます。model.params を表示すると smoothing_level（α）、smoothing_trend（β）、smoothing_seasonal（γ）が確認でき、β と γ が 0 に近いのは傾きと季節が 4 年間ほぼ一定だったことの反映です。

使いどころと落とし穴 #

ETS の 3 文字は、実測の図から「季節の振幅が水準とともに広がるか（S = M）」「誤差の散らばりが水準とともに広がるか（E = M）」「傾きがどこまでも続くと信じるか（T = A か Ad）」を見て決めます。月次・週次の販売数のように季節が明確で 2 周期以上あるデータの中期予測に向き、周期がはっきりしないデータでは seasonal=None の Holt 法に落とします。ExponentialSmoothing は点予測しか返さないので、予測区間が必要な業務では ETSModel の get_prediction().summary_frame() を使ってください。Holt-Winters の発展形として α・β・γ を「水準・傾き・季節の記憶の短さ」と読む習慣をつけると、fit() の結果が妥当かを数値で判断できます。

ホルト・ウィンター法 — トレンドと季節性を同時に平滑化して予測
単純指数平滑法 — 指数的な重みで滑らかに予測する基本形
STL 分解とフォーキャスト — STL分解後の残差にARIMAを適用