Holt法

中級

04.12.2

Holt法

最終更新 2020-02-12 読了時間 6 分

まとめ

Holt の線形指数平滑法は、SES の水準 \(\ell_t\) に傾き \(b_t\) を 1 本足し、\(h\) か月先の予測を \(\ell_T + h, b_T\) という直線で伸ばす手法です。水準は \(\alpha\)、傾きは \(\beta\) という 2 つの平滑係数でそれぞれ更新するので、右肩上がりや下降傾向のある系列に SES より追随します。このページでは米国の天然ガス消費量（月次 BCF）を 2020 年 1 月で学習と検証に分け、SimpleExpSmoothing(α=0.1) と Holt(α=0.1, β=0.2) の 33 か月予測を 1 枚に重ねます。SES の水平線に対して Holt の予測は傾いた直線になりますが、12 か月周期の季節の山谷はどちらも表せないことが図で確認できます。

単純指数平滑法で水準 \(\ell_t\) を \(\alpha\) で更新する仕組みを先に押さえておくと、Holt 法が「同じ更新を傾き \(b_t\) にも行うだけ」だと分かります。

直感 #

天然ガス消費量は 10 年で冬の山が 2900 から 3600 BCF へ上がっており、SES のように「最後の水準を横に伸ばす」と、予測は年を追うごとに実測を下回ります。Holt 法はこの上昇を「毎月およそ +5 BCF」という傾きとして別に覚えておき、予測を 1 か月進めるごとに傾きの分だけ足し上げます。傾きの更新式は \(b_t = \beta(\ell_t - \ell_{t-1}) + (1 - \beta) b_{t-1}\) で、水準の変化量を \(\beta\) の重みで取り込む点は SES の更新と同じ形です。\(\beta = 0.2\) なら直近 1 か月の変化を 2 割だけ信じるので、季節の山谷で水準が月に 500 動いても傾きが急には振れません。

水準 ℓ_t = α y_t + (1 − α)(ℓ_{t−1} + b_{t−1}) 傾き b_t = β(ℓ_t − ℓ_{t−1}) + (1 − β) b_{t−1} 学習最終月の ℓ_T と b_T h か月先の予測 ℓ_T + h b_T 33 か月分の直線を描く

1. ライブラリ #

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import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

from statsmodels.tsa.holtwinters import Holt
from statsmodels.tsa.holtwinters import SimpleExpSmoothing

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

6 行目Holt クラスはトレンド付き指数平滑の専用クラス
statsmodels.tsa.holtwinters.Holt は水準と傾きの 2 成分を持つモデルで、ExponentialSmoothing(trend="add") と同じ計算をします。季節成分は持たないので、季節まで扱うときは次のページの ExponentialSmoothing に切り替えます。
7 行目SES も読み込んで同じ図に重ねる
前のページと同じ SimpleExpSmoothing を併用し、同じ学習データ・同じ \(\alpha = 0.1\) で予測を出して Holt と並べます。比較対象を同じ条件で揃えることで、差がトレンド成分 \(\beta\) の有無だけから来ていると言えます。
2 行目日付 index の DataFrame が入力
Holt も pandas の日付 index をそのまま使い、forecast(33) に 2020 年 1 月以降の月初の日付を付けて返します。index が日付でないと予測と検証データを同じ横軸に描けません。

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：水準 → 傾き → 季節と要素を足すほど、未来への伸ばし方が豊かになる。

サンプルデータ #

Natural Gas Consumption (NATURALGAS) の月次データを使います。数値の単位は BCF（10 億立方フィート）で、2013 年 1 月から 2022 年 9 月までの 117 か月分を辞書で埋め込み、月初の等間隔 index を持つ DataFrame に整えます。

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data = {
    "value": {
        "2013-01-01": 2878.8,
        "2013-02-01": 2567.2,
        "2013-03-01": 2521.1,
        "2013-04-01": 1967.5,
        "2013-05-01": 1752.5,
        "2013-06-01": 1742.9,
        "2013-07-01": 1926.3,
        "2013-08-01": 1927.4,
        "2013-09-01": 1767.0,
        "2013-10-01": 1866.8,
        "2013-11-01": 2316.9,
        "2013-12-01": 2920.8,
        "2014-01-01": 3204.1,
        "2014-02-01": 2741.2,
        "2014-03-01": 2557.9,
        "2014-04-01": 1961.7,
        "2014-05-01": 1810.2,
        "2014-06-01": 1745.4,
        "2014-07-01": 1881.0,
        "2014-08-01": 1933.1,
        "2014-09-01": 1809.3,
        "2014-10-01": 1912.8,
        "2014-11-01": 2357.5,
        "2014-12-01": 2679.2,
        "2015-01-01": 3115.0,
        "2015-02-01": 2925.2,
        "2015-03-01": 2591.3,
        "2015-04-01": 2007.9,
        "2015-05-01": 1858.2,
        "2015-06-01": 1899.9,
        "2015-07-01": 2067.7,
        "2015-08-01": 2052.7,
        "2015-09-01": 1901.3,
        "2015-10-01": 1987.3,
        "2015-11-01": 2249.1,
        "2015-12-01": 2588.2,
        "2016-01-01": 3091.7,
        "2016-02-01": 2652.3,
        "2016-03-01": 2356.3,
        "2016-04-01": 2083.9,
        "2016-05-01": 1965.8,
        "2016-06-01": 2000.7,
        "2016-07-01": 2186.6,
        "2016-08-01": 2208.4,
        "2016-09-01": 1947.8,
        "2016-10-01": 1925.2,
        "2016-11-01": 2159.5,
        "2016-12-01": 2866.3,
        "2017-01-01": 2913.8,
        "2017-02-01": 2340.2,
        "2017-03-01": 2523.3,
        "2017-04-01": 1932.0,
        "2017-05-01": 1892.0,
        "2017-06-01": 1910.4,
        "2017-07-01": 2141.6,
        "2017-08-01": 2093.8,
        "2017-09-01": 1920.5,
        "2017-10-01": 2031.5,
        "2017-11-01": 2357.3,
        "2017-12-01": 3086.0,
        "2018-01-01": 3340.9,
        "2018-02-01": 2710.7,
        "2018-03-01": 2796.7,
        "2018-04-01": 2350.5,
        "2018-05-01": 2055.0,
        "2018-06-01": 2063.1,
        "2018-07-01": 2350.7,
        "2018-08-01": 2313.8,
        "2018-09-01": 2156.1,
        "2018-10-01": 2285.9,
        "2018-11-01": 2715.9,
        "2018-12-01": 2999.5,
        "2019-01-01": 3424.3,
        "2019-02-01": 3019.1,
        "2019-03-01": 2927.8,
        "2019-04-01": 2212.4,
        "2019-05-01": 2134.0,
        "2019-06-01": 2119.3,
        "2019-07-01": 2393.9,
        "2019-08-01": 2433.9,
        "2019-09-01": 2206.3,
        "2019-10-01": 2306.5,
        "2019-11-01": 2783.8,
        "2019-12-01": 3170.7,
        "2020-01-01": 3320.6,
        "2020-02-01": 3058.5,
        "2020-03-01": 2722.0,
        "2020-04-01": 2256.9,
        "2020-05-01": 2072.2,
        "2020-06-01": 2127.9,
        "2020-07-01": 2464.1,
        "2020-08-01": 2399.5,
        "2020-09-01": 2151.2,
        "2020-10-01": 2315.9,
        "2020-11-01": 2442.0,
        "2020-12-01": 3182.8,
        "2021-01-01": 3343.9,
        "2021-02-01": 3099.2,
        "2021-03-01": 2649.4,
        "2021-04-01": 2265.1,
        "2021-05-01": 2117.4,
        "2021-06-01": 2238.4,
        "2021-07-01": 2412.2,
        "2021-08-01": 2433.8,
        "2021-09-01": 2142.3,
        "2021-10-01": 2262.6,
        "2021-11-01": 2693.3,
        "2021-12-01": 3007.3,
        "2022-01-01": 3612.1,
        "2022-02-01": 3064.2,
        "2022-03-01": 2785.4,
        "2022-04-01": 2379.3,
        "2022-05-01": 2247.8,
        "2022-06-01": 2326.9,
        "2022-07-01": 2597.9,
        "2022-08-01": 2566.1,
        "2022-09-01": 2263.3,
    }
}

data = pd.DataFrame(data)
data.rename(columns={"value": "Natural Gas Consumption(BCF)"}, inplace=True)
data.index = pd.to_datetime(data.index)
data = data.asfreq("MS")
data.head()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1-2, 123 行目辞書をそのまま DataFrame にする
外側のキー value が列名、内側の "2013-01-01" などが index になります。CSV のダウンロードを挟まずにデータを埋め込んでいるので、このページのコードは手元でそのまま再現できます。
124 行目列名を単位付きに変えて凡例に出す
Natural Gas Consumption(BCF) という列名は sns.lineplot の凡例にそのまま表示されます。単位を列名に入れておくと、図だけを見た人が 3000 という数字の意味を迷いません。
125-126 行目asfreq("MS") が forecast の日付 index を作る
pd.to_datetime で日付型にしたあと asfreq("MS") で月初の頻度を明示します。これを省くと statsmodels が頻度を推定できず、forecast(33) の index が 0〜32 の整数になって検証データと重ねられなくなります。
127 行目head() で先頭 5 か月を確認
2013 年 1 月の 2878.8 から 5 月の 1752.5 へ下がる 5 行が出れば、index が日付型で値も正しく読めています。

	Natural Gas Consumption(BCF)
2013-01-01	2878.8
2013-02-01	2567.2
2013-03-01	2521.1
2013-04-01	1967.5
2013-05-01	1752.5

全期間を描くと、1 月の山が 2900 → 3600 BCF と 10 年で上がる右肩上がりのトレンドと、12 か月周期の季節の波が重なって見えます。Holt 法が狙うのはこのうち前者のトレンドです。

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plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=data)
plt.grid()
plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目横 12 インチで 117 か月を広げる
figsize=(12, 6) にしないと 117 点の月次データが詰まり、冬の山が 1 年ごとに少しずつ高くなる様子が読めません。
2 行目index を横軸、列を 1 本の線に
sns.lineplot(data=data) は DataFrame の index を横軸に取り、列 Natural Gas Consumption(BCF) を凡例付きの折れ線にします。
3-4 行目グリッドで山の高さの変化を読む
plt.grid() の横線を基準に、2014 年 1 月の 3204 と 2022 年 1 月の 3612 を比べると、約 400 BCF の上昇が 8 年で起きたことが読めます。この傾き（月あたり +4 前後）を Holt 法の \(b_t\) が捉える対象です。

サンプルデータの図

データの分割 #

データの末尾（2020 年 1 月以降の 33 か月）を予測性能の検証に使い、2013〜2019 年の 84 か月で学習します。2020 年以降を丸ごと検証に回すのは、未来の値を学習に混ぜないためです。

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data_train = data[data.index < "2020-1-1"]
data_test = data[data.index >= "2020-1-1"]

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_train.index, data_train.values, label="train", linewidth=2)
plt.plot(data_test.index, data_test.values, "-.", label="test")
plt.legend()
plt.grid()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1-2 行目2020 年 1 月を境に時間順で分ける
data.index < "2020-1-1" で 84 か月を学習、残り 33 か月を検証にします。ランダム分割を使わないのは、未来の観測が学習に混ざると予測精度を過大評価するためです。検証 33 か月は冬の山を 3 回含むので、トレンドに追随できているかを 3 年分で確かめられます。
5-6 行目学習は太い実線、検証は一点鎖線
linewidth=2 の実線と "-." の一点鎖線で、モデルが見た範囲と見ていない範囲を線種で分けます。次の図で 2 本の予測線を重ねるとき、この区別が読みやすさを決めます。
7-8 行目凡例とグリッドは予測図と共通
train と test のラベルと plt.grid() は次の予測図でも同じ設定にしてあり、2 枚の図を見比べたときに横軸・縦軸の目安がずれません。

データの末尾（2020年以降のデータ）を予測性能の検証に使用するためにデータを分割しますの図

モデルの学習と予測 #

同じ学習データに SES と Holt 法を当て、どちらも 33 か月先を予測します。SES は \(\alpha = 0.1\) のみ、Holt は \(\alpha = 0.1\) と \(\beta = 0.2\) を固定し、差がトレンド成分だけから生まれるようにします。

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ses = SimpleExpSmoothing(data_train)
ses = ses.fit(smoothing_level=0.1)
ses_pred = ses.forecast(33)

holt = Holt(data_train)
holt = holt.fit(smoothing_level=0.1, smoothing_trend=0.2)
holt_pred = holt.forecast(33)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1-3 行目比較用の SES は前ページと同じ設定
smoothing_level=0.1 の SES を同じ学習データに当てて 33 か月予測します。前ページで見たとおり予測は水平線になるので、これが「トレンドなし」の基準線になります。
5 行目Holt(data_train) で水準と傾きの 2 成分モデルを作る
Holt は内部で水準 \(\ell_t\) と傾き \(b_t\) の 2 つの状態を持ちます。exponential=True を付けると傾きを比率で扱う乗法トレンドに、damped_trend=True を付けると遠い未来ほど傾きを弱める減衰トレンドになりますが、ここでは既定の加法・非減衰で使います。
6 行目smoothing_trend=0.2 が β の指定
smoothing_level=0.1 が \(\alpha\)、smoothing_trend=0.2 が \(\beta\) です。\(\beta\) を大きくすると直近の水準の変化（季節の山谷で月 500 動くこともある）を傾きとして拾ってしまい、予測の直線が急に上や下を向きます。0.2 は季節の揺れに振られすぎない控えめな値で、引数を省けば両方とも最尤推定されます。
7 行目forecast(33) は ℓ_T + h b_T の直線
返り値の \(h\) か月目の値は学習最終月の水準に傾き × \(h\) を足したもので、33 個の値は等差で増える（または減る）直線になります。index には 2020 年 1 月以降の月初の日付が付きます。

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plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_train.index, data_train.values, label="train", linewidth=2)
plt.plot(data_test.index, data_test.values, "-.", label="test")
plt.plot(ses_pred.index, ses_pred.values, "-x", label="prediction(ses)")
plt.plot(holt_pred.index, holt_pred.values, "-x", label="prediction(Holt)")
plt.legend()
plt.grid()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

2-3 行目学習・検証は前の図と同じ線種
太い実線の train と一点鎖線の test を先に描き、その上に 2 本の予測を重ねます。
4-5 行目SES と Holt の予測を同じ × マーカーで重ねる
どちらも "-x" で描き、色だけで区別します。SES の × は水平に並び、Holt の × は傾いた直線に並ぶので、2 本の線の開きが「傾き \(b_T\) × 経過月数」そのものです。33 か月後には差が最大になります。
6-7 行目凡例で 2 本の予測を見分ける
prediction(ses) と prediction(Holt) のラベルで線を見分け、plt.grid() の横線で各予測が検証データの山谷に対してどの高さを通るかを読みます。

モデルの学習と予測の図

実行結果の読み方 #

SES の予測（水平線）は 2400 BCF 前後に留まり、Holt の予測は学習最終月の水準から傾き \(b_T\) の分だけ毎月上がる直線になります。学習期間の最後の月は 2019 年 12 月（3170.7）で季節の山に向かう途中なので、\(\alpha = 0.1\) で平滑化した水準はそれより低く、傾きは 10 年の上昇トレンド（月 +4 前後）に近い値になります。検証データの 33 か月と比べると、Holt の直線は冬の山（3300〜3600）と夏の谷（2100〜2300）の真ん中あたりを通り、SES より年々の水準の上昇には追随しますが、山谷そのものは表せません。holt.params を表示すると smoothing_level と smoothing_trend のほか、推定された初期水準 initial_level と初期傾き initial_trend が確認できます。

使いどころと落とし穴 #

Holt 法が向くのは、売上や利用者数のように一定の割合で増減し続け、季節の山谷が小さい系列です。天然ガス消費量のように水準の 40% にあたる 12 か月周期の波があるデータでは、トレンドを捉えても誤差の大半は季節が占めるので、次の Holt-Winters 法で季節成分 \(\gamma\) を足す必要があります。もう一つの落とし穴は傾きを 33 か月も直線で伸ばすことで、学習最終月の傾きがたまたま急だと予測が現実から離れていきます。長期の予測では Holt(data_train, damped_trend=True) で減衰トレンドにし、遠い未来ほど傾きを弱めるのが安全です。\(\beta\) を手で決めるときは 0.1〜0.3 から始め、fit() の最尤推定値と比べて極端に違わないかを確かめます。

単純指数平滑法 (SES) — 指数的な重みで滑らかに予測する基本形
Holt-Wintersの手法 — トレンドと季節性を同時に平滑化し 12 か月周期も再現する拡張
ホルト・ウィンター法 — 状態空間モデルとしてのHolt-Winters