MA過程

直感 #

毎日の売上を記録していて、ある日テレビで紹介されて売上が急に跳ねたとします。その「驚き」は翌日も少し残り（在庫を見た人が買いに来る）、2 日後にはほぼ消える。この「驚き（ノイズ）が数日だけ尾を引く」構造が MA 過程です。AR 過程なら「昨日の売上が高かったから今日も高い」と値そのものを引きずりますが、MA 過程は「昨日のノイズの 0.5 倍だけ今日に乗る」と、ノイズだけを引きずります。

使うライブラリ #

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import statsmodels.api as sm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：MA の影響は 1 期（次数分）で消える。短い揺れの形を作る成分。

式で書くと何を足し合わせているか #

MA(q) 過程は、平均 \(\mu\)、今日のノイズ \(\epsilon_t\)、過去 \(q\) 期のノイズ \(\epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q}\) を係数 \(\theta_1, \dots, \theta_q\) で重みづけして足したものです。

\(\epsilon_t\) は平均 0・標準偏差 \(\sigma\) の正規乱数です。式に \(y_{t-1}\) が出てこないのが AR 過程との最大の違いで、\(q+1\) 期前のノイズは係数が付かないので影響がゼロになります。自己相関関数（ACF）が \(q\) 期を過ぎると急に 0 に落ちるのはこのためで、下のコードで係数の個数 len(thetas) を 1・2・10 と変えると、ACF が途切れるラグも 1・2・10 と動きます。

MA過程のデータを生成する #

次の関数は、上の式をそのまま for ループで書き下したものです。thetas の長さが次数 \(q\) になり、sigma がノイズの大きさを決めます。

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def create_MAdata(thetas=[0.1], mu=1, N=400, init=1, c=1, sigma=0.3):
    """MAモデルで時系列データを生成"""
    print(f"==MA({len(thetas)})過程の長さ{N}のデータを作成==")
    epsilon = np.random.normal(loc=0, scale=sigma, size=N)
    data = np.zeros(N)
    data[0] = init

    for t in range(2, N):
        res = mu + epsilon[t]
        for j, theta_j in enumerate(thetas):
            res += theta_j * epsilon[t - j - 1]
        data[t] = res
    return data

MA(1) #

係数 1 個（\(\theta_1 = 0.5\)）の系列を描きます。隣り合う点どうしだけに相関があり、2 点以上離れると無相関になります。

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plt.figure(figsize=(12, 6))
thetas = [0.5]
ma1_1 = create_MAdata(thetas=thetas)
plt.title(f"MA{len(thetas)}過程", fontsize=15)
plt.plot(ma1_1)
plt.show()

==MA(1)過程の長さ400のデータを作成==

MA(2) #

係数を 2 個（\(\theta_1 = \theta_2 = 0.5\)）にすると、2 期前のノイズまで今日に乗ります。

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plt.figure(figsize=(12, 6))
thetas = [0.5, 0.5]
ma1_2 = create_MAdata(thetas=thetas)
plt.title(f"MA{len(thetas)}過程", fontsize=15)
plt.plot(ma1_1)
plt.show()

==MA(2)過程の長さ400のデータを作成==

MA(10)（係数を 10 個にする） #

係数を 10 個並べると、10 期前までのノイズが足し合わさります。ノイズを 11 個分平均するような効果が出るため、短い揺れが打ち消されてうねりだけが残ります。

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plt.figure(figsize=(12, 6))
thetas = [0.5 for _ in range(10)]
ma1_5 = create_MAdata(thetas=thetas)
plt.title(f"MA{len(thetas)}過程", fontsize=15)
plt.plot(ma1_5)
plt.show()

==MA(10)過程の長さ400のデータを作成==

使いどころと落とし穴 #

MA 過程を実データに当てるときは、まず ACF を描いて「どのラグで 0 に落ちるか」を見ます。ラグ \(q\) で急に途切れれば MA(q)、ゆっくり減衰すれば AR の疑いが強く、両方の性質が混ざっていれば ARMA を検討します。MA 過程は \(y_{t-1}\) を含まないので常に定常で、AR 過程のように \(|\phi| < 1\) を気にする必要はありません。ただし推定時には「反転可能性」（\(|\theta| < 1\) に相当する条件）が必要で、statsmodels の ARIMA(order=(0, 0, q)) はこの条件を満たす解を返します。上のコードのように np.random.seed を固定していないと、再実行ごとに図が変わる点にも注意してください。