06 移動平均

最終更新 2025-11-05 読了時間 4 分

まとめ

移動平均は「直近 \(n\) 点の平均を今の値の代わりに置く」だけの操作で、月ごとの細かい揺れを消して系列の大きな流れを浮かび上がらせます。このページでは米国の天然ガス消費量（月次、2013〜2021 年）を使い、rolling(12).mean() の単純移動平均（SMA）、重みを山形にした rolling(12).apply() の加重移動平均（WMA）、ewm(span=12).mean() の指数移動平均（EMA）を同じ図で比べます。rolling(12).max() と .min() で作る上下バンドから外れた月を異常候補として拾う方法も扱い、どの移動平均も pandas の 1 行で書けることを確かめます。

直感 #

毎月の天然ガス消費量は冬に跳ね上がり夏に落ちるので、1 月と 7 月を比べても「増えたか減ったか」は分かりません。直近 12 か月の平均を取ると冬と夏が 1 回ずつ含まれて季節の山谷が打ち消され、「去年 1 年間と比べて今年 1 年間はどうか」という流れだけが残ります。平均を取る窓を 12 か月から 24 か月に広げるほど線はなめらかになりますが、山や谷が実際より遅れて現れる代償があります。この「なめらかさと遅れの交換」を、重みの付け方で調整するのが WMA と EMA です。

月次の消費量窓 12 か月の値を取り出す均等（SMA）／山形（WMA）／指数減衰（EMA）の重みで平均窓の末尾か中央に書き込む 1 か月ずらして繰り返す

1. ライブラリ #

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import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

2 行目移動平均は pandas の rolling と ewm で計算する
このページの計算はすべて Series.rolling() と Series.ewm() で済みます。numpy だけで書くなら np.convolve が同じ結果を返しますが、日付インデックスを保ったまま NaN を扱えるのは pandas のほうです。
1 行目numpy は WMA の重み配列のため
np.array([0, 1, 2, ...]) で加重移動平均の重みを定義し、np.sum(w * values) / w.sum() で重みつき平均を計算します。SMA と EMA だけなら numpy は不要です。
4 行目seaborn の lineplot に DataFrame を渡すと列ごとに線が出る
sns.lineplot(data=df) は列ごとに色を変えた折れ線と凡例を自動で作ります。元データ・SMA・上限・下限の 4 列を 1 回の呼び出しで重ねられるので、このページでは毎回この形で描きます。

（full_fred を利用すると FRED から最新データを取得できますが、ここではサンプルとして埋め込み済みの辞書を使用します。）

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：窓の中の平均を窓の中央に打つだけ。窓を 12 から 24 に広げるほど滑らかだが、山や谷が遅れて現れる。

2. データを DataFrame にまとめる #

2013 年 1 月から 2021 年 12 月まで 108 か月分の天然ガス消費量（単位 BCF、10 億立方フィート）を辞書から DataFrame にし、折れ線で形を確認します。

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data = {
    "value": {
        "2013-01-01": 2878.8,
        ...
        "2021-12-01": 3012.3,
    }
}

data = pd.DataFrame(data)
data.index = pd.to_datetime(data.index)
data = data.rename(columns={"value": "Natural Gas Consumption(BCF)"})

plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=data)
plt.title("天然ガス消費量（BCF）")
plt.show()

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1-7 行目辞書の外側のキーが列名、内側のキーが行
{"value": {"2013-01-01": 2878.8, ...}} という「列名 → {日付 → 値}」の入れ子を pd.DataFrame に渡すと、内側のキーが行インデックス、外側のキーが列名になります。FRED API の JSON をそのまま貼り付けた形で、... の部分には 2013 年から 2021 年までの残りの月が入ります。
10 行目インデックスを文字列から datetime に変える
辞書のキーは文字列なので、pd.to_datetime で DatetimeIndex にします。この変換がないと rolling(12) 自体は動きますが、横軸が文字列として等間隔に並ぶだけで年の目盛が出ず、rolling("365D") のような時間ベースの窓も使えません。
11 行目列名に単位を入れておく
"Natural Gas Consumption(BCF)" と単位まで列名に含めておくと、seaborn の凡例と縦軸ラベルにそのまま出て、図を見た人が単位を迷いません。後で SMA(12) などの列を足すときも、元の列が何かが凡例で分かります。
14 行目元データは冬に 3,000 を超え夏に 2,000 近くまで落ちる
図では 1 月前後に鋭い山、夏に谷が毎年繰り返され、振れ幅は約 1,000 BCF です。この季節の山谷の中に「年々増えているか」が埋もれているのが、移動平均を取る動機です。

3. 単純移動平均（SMA） #

直近 12 か月の平均・最大・最小を計算し、元データと重ねます。12 にするのは、1 年分を含めて季節の山谷を打ち消すためです。

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data_sma = data.copy()
rolling_obj = data_sma["Natural Gas Consumption(BCF)"].rolling(12)
data_sma["SMA(12)"] = rolling_obj.mean()
data_sma["RollingMax(12)"] = rolling_obj.max()
data_sma["RollingMin(12)"] = rolling_obj.min()

plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=data_sma[["Natural Gas Consumption(BCF)", "SMA(12)", "RollingMax(12)", "RollingMin(12)"]])
plt.title("SMA と上下バンド")
plt.show()

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2 行目rolling(12) は窓を作るだけで、まだ計算しない
rolling(12) は「直近 12 点を見る窓」を表すオブジェクトを返し、.mean() や .max() を呼んだ時点で計算されます。1 つの窓オブジェクトから平均・最大・最小を 3 回取り出しているのはこのためです。既定は center=False なので、結果は窓の末尾（最新月）に書き込まれます。
3 行目先頭 11 か月は NaN になる
12 点そろうまで平均が定義できないので、2013 年 1 月から 11 月までの SMA(12) は NaN です。図ではこの区間に SMA の線が描かれません。min_periods=1 を渡せば 1 点からでも計算されますが、最初の数か月の値は 12 か月平均とは別物なので、欠けたままにしておくのが正直です。
4-5 行目直近 12 か月の最大・最小が上下バンド
RollingMax(12) と RollingMin(12) は「過去 1 年の最高月と最低月」で、その月の実測値がこのバンドの外に出たら、過去 1 年のどの月よりも多い（少ない）消費だったことになります。2 本のバンドの幅は季節の振れ幅（約 1,000 BCF）に等しく、幅が広がる年は冬の寒さか夏の暑さが例年より厳しかった年です。
8 行目4 列を 1 回の lineplot で重ねる
列を 4 つ指定した DataFrame を渡すと、seaborn が 4 色の線と凡例を自動で付けます。図では SMA(12) の線が季節の山谷を消してほぼ水平に近い緩やかな上昇になり、元データが上限バンドに触れる月（記録的な寒波の月）が異常候補として読み取れます。

SMA は、季節性のある系列から滑らかなトレンドを得たいときに最初に試す方法です。RollingMax と RollingMin のバンドから外れた月をマーキングすれば、閾値を手で決めずに「過去 1 年で最も多い／少ない月」を異常候補として拾えます。

4. 加重移動平均（WMA） #

窓の中央に近い観測ほど重みを大きくしたい場合は、重み配列を定義して rolling().apply() に渡します。

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weights = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0])

def get_wma(values, w=weights):
    return np.sum(w * values) / w.sum()

data_wma = data.copy()
data_wma["WMA(12, center=True)"] = (
    data_wma["Natural Gas Consumption(BCF)"]
    .rolling(12, center=True)
    .apply(get_wma, raw=True)
)
data_wma["WMA(12, center=False)"] = (
    data_wma["Natural Gas Consumption(BCF)"]
    .rolling(12, center=False)
    .apply(get_wma, raw=True)
)

plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=data_wma)
plt.title("加重移動平均（center True/False）")
plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目山形の重みで窓の中央を重視する
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0] は窓の両端が 0、中央 2 点が 5 の三角形で、合計 30 です。両端の重みが 0 なので実質 10 か月の平均になり、中央の月が端の月の 5 倍効きます。「最近ほど重く」したいなら [1, 2, ..., 12] のような片側上がりの配列に替えます。
3-4 行目重みつき平均を 1 行で返す関数
np.sum(w * values) / w.sum() が加重平均の定義そのものです。values は窓の中の 12 点が古い順に入った配列で、w と要素ごとに掛けて合計し、重みの合計 30 で割ります。重みの合計で割り忘れると値が 30 倍になります。
9-10 行目center=True で結果を窓の中央に書く
center=True にすると 12 点の平均が窓の真ん中（6 点目と 7 点目の間、pandas では 7 点目）に置かれ、山や谷の位置が元データとずれません。代わりに末尾 6 か月は未来の値が足りず NaN になります。raw=True は apply に Series でなく numpy 配列を渡す指定で、get_wma の w * values が高速に動きます。
14 行目center=False は同じ形が 6 か月右にずれる
center=False では結果が窓の末尾に書かれるので、center=True の線を半年分右に平行移動した形になります。図で 2 本の WMA を比べると、山の位置が 6 か月ずれていることが一目で分かります。リアルタイムに「今月までの値」で計算するなら未来を使えないので center=False しか選べず、過去データの季節の中心を見るなら center=True を選びます。

center=True にすると窓の中央に値が置かれるので、季節の山谷の位置を元データとずらさずにトレンドを見たいときに向きます。

5. 指数移動平均（EMA） #

古い観測の重みを \(1-\alpha\) 倍ずつ指数的に減らす方法で、EMA（平滑化指数）とも呼ばれます。span=12 が「12 か月の SMA と同程度のなめらかさ」に相当し、adjust=False にすると教科書どおりの再帰式 \(\mathrm{EMA}t = \alpha y_t + (1 - \alpha)\mathrm{EMA}{t-1}\) に一致します。

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data_ema = data.copy()
data_ema["EMA(12)"] = (
    data_ema["Natural Gas Consumption(BCF)"].ewm(span=12, adjust=False).mean()
)

plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=data_ema)
plt.title("指数移動平均 (EMA)")
plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

3 行目span=12 は α = 2 / (12 + 1) ≈ 0.154
ewm の span は \(\alpha = 2 / (\mathrm{span} + 1)\) に変換され、今月の値を 15.4%、先月までの EMA を 84.6% の重みで混ぜます。1 か月前の重みは 0.154、2 か月前は 0.154 × 0.846、…と指数的に減り、12 か月前でも約 2% 残ります。alpha=0.3 のように直接指定することもでき、大きいほど最新値に敏感になります。
3 行目adjust=False で再帰式そのものにする
既定の adjust=True は序盤のデータ不足を補正するため重みを正規化し直しますが、adjust=False は最初の値をそのまま初期値にして \(\alpha y_t + (1-\alpha)\mathrm{EMA}_{t-1}\) を繰り返します。株価のテクニカル指標や多くの教科書の定義は後者で、他ツールの EMA と数値を合わせたいときはこちらにします。
3 行目SMA と違って先頭に NaN が出ない
EMA は 1 点目から値が定義されるので、SMA(12) のように最初の 11 か月が欠けません。ただし最初の数か月は初期値（2013 年 1 月の 2878.8）に強く引きずられており、12 か月ほど経ってから信頼できる値になります。
7 行目EMA は SMA より山谷への追従が早い
図では EMA(12) が元データの冬の山に SMA(12) より早く反応し、山の高さも SMA より残ります。重みが最新月に偏っているためで、なめらかさを少し犠牲にして遅れを減らした形です。

EMA は最新値への追従が速いので、オンライン予測や在庫管理のように「今月の値をすぐ反映したい」リアルタイムの分析で重宝します。

6. まとめ #

種類	特徴	実装
SMA	全観測を均等に平均	`Series.rolling().mean()`
WMA	重みをカスタム、窓の中心をずらせる	`rolling().apply()`
EMA	指数減衰、最新値に敏感	`Series.ewm().mean()`

3 種類はいずれも「窓の中の重みつき平均」で、違いは重みの形と結果を書く位置だけです。季節の山谷を消してトレンドを見るならまず rolling(12).mean() の SMA、最新月の変化をすぐ反映したいなら ewm(span=12) の EMA、過去データで季節サイクルの中心を正確に取りたいなら rolling(12, center=True).apply() の WMA と覚えておくと使い分けが楽になります。SMA の rolling().max() と .min() で作る上下バンドは、閾値を手で決めずに異常月を拾う道具としてそのまま使えます。

移動平均と移動標準偏差 — トレンドとばらつきの変化を同時に確認
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