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ruptures

中級

04.17.1

ruptures

最終更新 2020-01-29 読了時間 7 分

まとめ

変化点検出は、時系列を「平均やばらつきがほぼ一定の区間」に切り分け、その境目（変化点）を見つける問題です。ruptures は「各区間のコストの合計 + 区間数 × ペナルティ」を最小にする区切り方を探すライブラリで、Pelt(model="rbf").fit(signal).predict(pen=10) の 2 行で変化点のリストが返ります。このページでは平均が 100 日ごとに段階的に変わる人工データ、分散だけが 500〜600 日目で変わるデータ、Datadog の株価の 3 種類に Pelt と Dynp を当て、pen を 0.1 から 1.0 に動かすと変化点が減っていく様子、model を rbf と l2 で替えると分散の変化を拾えるかどうかが変わる様子を rpt.display の図で確かめます。

Truong, Charles, Laurent Oudre, and Nicolas Vayatis. “ruptures: change point detection in Python.” arXiv preprint arXiv:1801.00826 (2018). (arXiv)

直感 #

1 年分の日次売上を眺めて「ここから客層が変わった」と感じる場所を探すとします。区間を 1 つに分けなければ平均からのずれ（コスト）が大きく、1 日ごとに区切ればコストは 0 になりますが意味がありません。そこで「区切りを 1 つ増やすごとにペナルティを払う」というルールを決め、コストとペナルティの合計が最小になる区切り方を選びます。pen が大きいと区切りが減って大きな変化だけが残り、小さいと細かい揺れまで変化点になります。ruptures の Pelt はこの最小化を動的計画法と枝刈りで高速に解き、Dynp はペナルティの代わりに変化点の個数を指定して厳密に解きます。

信号コスト関数（rbf / l2）を選ぶ区切りの候補ごとに「区間コストの合計 + 区間数 × pen」を計算最小になる区切りを Pelt で探す変化点のインデックスを返す rpt.display で正解と重ねる

ruptures #

公式ドキュメント: ruptures documentation

まず ruptures 付属の生成関数で「平均が 4 回ジャンプする 3 次元の信号」を作り、Pelt で変化点を検出して正解と重ねます。

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# seaborn内部のpandas使用箇所でFutureWarningが出ていたので表示しないようにする
import warnings
from datetime import datetime, timedelta

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import ruptures as rpt
import seaborn as sns

warnings.simplefilter(action="ignore", category=FutureWarning)

# generate signal
n_samples, dim, sigma = 1000, 3, 4
n_bkps = 4  # number of breakpoints
signal, bkps = rpt.pw_constant(n_samples, dim, n_bkps, noise_std=sigma)

# detection
algo = rpt.Pelt(model="rbf").fit(signal)
result = algo.predict(pen=10)

# display
rpt.display(signal, bkps, result)
plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

14-16 行目pw_constant は区分的に一定な信号と正解の変化点を返す
rpt.pw_constant(1000, 3, 4, noise_std=4) は長さ 1000・3 列で、平均が 4 か所でジャンプし標準偏差 4 のノイズが乗った信号と、正解の変化点リスト bkps を返します。「答えを知っているデータ」なので、検出結果 result と bkps を比べて pen の良し悪しを判断できます。
19 行目Pelt(model="rbf") はカーネルで平均・分散の両方の変化を見る
model="rbf" は RBF カーネルで区間内の点どうしの類似度を測るコスト関数で、平均のジャンプだけでなく分散の変化にも反応します。model="l2" にすると区間平均からの二乗偏差だけになり、平均の変化しか拾えません。Pelt は枝刈りつきの動的計画法で、変化点の数を事前に決めずに pen だけで区切りの数が決まります。
20 行目pen=10 がペナルティ、大きいほど変化点が減る
predict(pen=10) は「区間を 1 つ増やすごとにコスト 10 を払う」設定です。rbf のコストは 0〜1 に正規化された類似度の和なので、1000 点に対して 10 は比較的大きく、ノイズによる細かい揺れは変化点になりません。pen=1 にすると数十個の変化点が出ます。
23 行目display は正解を背景色、検出を破線で描く
rpt.display(signal, bkps, result) は 3 列を縦に並べ、正解 bkps の区間を交互の背景色で、検出した result を縦の破線で描きます。破線が背景色の境目に重なれば検出成功で、result の最後の要素は常に信号の長さ 1000 なので、変化点の数は len(result) - 1 です。

公式ドキュメント：ruptures documentationの図

何が起きているか（ステップで見る） #

コードを読む前に、この手法が図の上で何をしているかを追ってみましょう。「再生」を押すか、スライダーを動かすと 1 手順ずつ進みます。

見るポイント：どこで区切ると左右のばらつきの合計が最小になるかを総当たりで探す。

さまざまなデータでの比較 #

変化点検出＋可視化のコード #

Pelt による検出と rpt.display による描画を 1 つの関数にまとめ、method・pen・min_size を変えて何度も呼べるようにします。

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def vizualize_change_point(
    signals, true_change_points=[], method="rbf", pen=0.5, min_size=3
):
    algo = rpt.Pelt(model=method, min_size=min_size).fit(signals)
    result = algo.predict(pen=pen)
    rpt.display(signals, true_change_points, result)
    plt.suptitle(f"method={method}, penalty={pen}, ", fontsize=20)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

2 行目true_change_points が空なら背景色は塗られない
正解が分からない実データでは true_change_points=[] のまま呼び、検出した破線だけを見ます。人工データで正解を渡すと背景色との比較ができます。既定の pen=0.5 は rbf 向けの値で、l2 では信号のスケールに合わせて別の値が必要です。
4 行目min_size は区間の最小長
min_size=3 は「3 点未満の区間は作らない」という制約で、1〜2 点だけ飛び出した外れ値を変化点として拾わないようにします。後の実験で min_size=50 や 100 に上げているのは、「少なくとも 50 日は続く変化」だけを拾うためです。
5 行目同じ fit 済みモデルで pen だけ変えられる
fit でコストの前計算を済ませ、predict(pen=...) でペナルティを変えて区切りを求めます。この関数は毎回 fit し直していますが、同じ signals で pen だけ振るなら algo を使い回すと速くなります。
7 行目タイトルに method と pen を入れて図を見分ける
pen を 5 段階に振って 5 枚の図を出すので、タイトルに設定値を入れておかないとどの図がどの pen か分からなくなります。min_size も入れておくと、後の実験の図がさらに読みやすくなります。

サンプルデータの作成 #

100 日ごとに value = i // 100 が 1 ずつ増え、その値を cos(i) に掛けて振れ幅が段階的に大きくなる 2 列の信号を 1000 日分作ります。

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X = []
dates = [datetime(2021, 1, 1) + timedelta(days=i) for i in range(1000)]
for i, di in enumerate(dates):
    value = i // 100
    X.append(
        [
            np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2
            + np.random.rand() * 0.1
            + value * np.cos(i),
            np.sin(di.day * 0.01) * 3 + np.random.rand() * 0.1 + value * np.cos(i),
        ]
    )

data = pd.DataFrame(X)
data.columns = [f"f{c}" for c in data.columns]
data.index = dates

plt.figure(figsize=(12, 3))
sns.lineplot(data=data)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

4 行目i // 100 で 100 日ごとに段が上がる
value は 0〜99 日目で 0、100〜199 日目で 1、…と 100 日ごとに 1 ずつ増え、900 日目以降は 9 になります。正解の変化点は 100, 200, …, 900 の 9 か所です。
7-10 行目value * cos(i) で平均ではなく振れ幅が変わる
np.cos(i) は -1〜1 で毎日向きが変わるので、value * np.cos(i) を足しても区間の平均はほぼ変わらず、振れ幅（分散）だけが value に比例して大きくなります。np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2 と np.sin(di.day * 0.01) * 3 は曜日と日付によるごく小さなうねりで、ほとんど定数です。平均の変化を見る l2 では検出しづらく、rbf が向くデータになっています。
14-16 行目列名 f0・f1、インデックスは日付
ruptures には data.values（numpy 配列）を渡すので列名やインデックスは使いませんが、seaborn で描くときに凡例と横軸に出ます。rpt.display の横軸は 0〜999 の整数なので、日付に戻すには dates[result[k]] のように自分で対応づけます。
19 行目図は右へ行くほど帯が太くなる
sns.lineplot(data=data) で 2 列を描くと、100 日ごとに振れ幅が一段ずつ広がる階段状の帯が見えます。人の目にも「100 日ごとに何かが変わった」と分かる難易度で、pen を変えたときに何か所拾えるかを見るのに向いています。

<Axes: >

サンプルデータの作成の図

ペナルティの違いによる結果の違い #

pen を 0.1 から 1.0 まで 5 段階に変えて、検出される変化点の数がどう変わるかを見ます。

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for pen in np.linspace(0.1, 1, 5):
    vizualize_change_point(data.values, method="rbf", pen=pen)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目0.1, 0.325, 0.55, 0.775, 1.0 の 5 段階
np.linspace(0.1, 1, 5) はこの 5 つの値を返します。rbf のコストは 0〜1 に収まる類似度ベースなので、pen もこの桁で振ります。l2 モデルなら信号の分散に比例した桁（この例では数十）にしないと、全点が変化点になるか 1 つも出ないかのどちらかになります。
2 行目pen が小さいと破線が増え、大きいと減る
5 枚の図を上から順に見ると、pen=0.1 ではノイズの揺れにも反応して 9 か所より多くの破線が出、pen=1.0 に近づくほど破線が 100 日ごとの境目に絞られていきます。正解が 9 か所と分かっているので「破線が 9 本に近づく pen」を目で選べますが、実データでは min_size と組み合わせて「業務上意味のある変化の数」に合わせます。
2 行目正解を渡していないので背景色はない
true_change_points を省いているため図に背景色は出ず、破線だけです。[100, 200, ..., 900, 1000] を渡せば正解の区間が色分けされ、どの pen で一致するかが読みやすくなります。

ペナルティの違いによる結果の違いの図

ペナルティの違いによる結果の違いの図

ペナルティの違いによる結果の違いの図

ペナルティの違いによる結果の違いの図

ペナルティの違いによる結果の違いの図

動的計画法を使った変化点の検出 #

Dynp は厳密な動的計画法で、ペナルティの代わりに変化点の数 n_bkps をあらかじめ指定する必要があります。「変化点はちょうど 8 個」と分かっている場面向きです。

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def vizualize_change_point_dynp(
    signals, true_change_points=[], method="rbf", min_size=3, n_bkps=3
):
    algo = rpt.Dynp(model=method, min_size=min_size).fit(signals)
    result = algo.predict(n_bkps=n_bkps)
    rpt.display(signals, true_change_points, result)
    plt.suptitle(f"method={method}, penalty={pen}, ", fontsize=20)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

vizualize_change_point_dynp(
    data.values, true_change_points=[], method="rbf", min_size=3, n_bkps=8
)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

4-5 行目Dynp は n_bkps 個の変化点を厳密に最適化する
Dynp（Dynamic Programming）は「変化点を n_bkps 個置くとき、区間コストの合計が最小になる位置」を全探索に近い動的計画法で求めます。Pelt より確実に最適解を返しますが、計算量は \(O(n^2 \cdot n_{bkps})\) 程度で、1000 点なら数秒、1 万点では数分かかります。
7 行目タイトルの pen は関数の外の変数を参照している
この関数には pen 引数がないので、f 文字列の {pen} は直前の for ループで最後に使われたグローバル変数 pen（1.0）を表示します。Dynp はペナルティを使わないため、タイトルの penalty 表示は意味を持ちません。n_bkps={n_bkps} に書き換えると正しい情報になります。
11-13 行目n_bkps=8 は正解の 9 より 1 つ少ない
正解の変化点は 100 日ごとの 9 か所ですが、n_bkps=8 と指定しているので、最初の 100 日目（振れ幅 0 → 1 の最も小さな変化）あたりが拾われず、残り 8 か所に破線が立つ結果になりやすいです。n_bkps=9 にすれば全部拾えるはずで、「数を知らないと使えない」のが Dynp の制約です。

動的計画法を使う場合、変化点の数（n_bkps）をあらかじめ指定する必要があるの図

人工データでの実験2 #

平均はほぼ同じまま、500〜600 日目の 100 日間だけ分散が大きくなるデータです。平均の変化しか見ないコスト関数では見つけにくい変化点になります。

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X2 = []
dates2 = [datetime(2021, 1, 1) + timedelta(days=i) for i in range(1000)]
for i, di in enumerate(dates2):
    if i == 550:
        X2.append(
            [
                np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2 + np.random.rand() * 0.1,
                np.sin(di.day * 0.01) * 3 + np.random.rand() * 0.1,
            ]
        )
    elif 500 < i < 600:
        X2.append(
            [
                np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2
                + np.random.rand() * 0.1
                + np.random.randint(-2, 2) * 0.1,
                np.sin(di.day * 0.01) * 3 + np.random.rand() * 0.1,
            ]
        )
    else:
        X2.append(
            [
                np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2 + np.random.rand() * 0.1,
                np.sin(di.day * 0.01) * 3 + np.random.rand() * 0.1,
            ]
        )

data2 = pd.DataFrame(X2)
data2.columns = [f"f{c}" for c in data2.columns]
data2.index = dates2

plt.figure(figsize=(12, 3))
sns.lineplot(data=data2)
plt.ylim(0, 1)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

11-19 行目501〜599 日目だけ f0 に ±0.2 の離散ノイズを足す
np.random.randint(-2, 2) は -2, -1, 0, 1 のどれかなので、* 0.1 で -0.2〜0.1 の値が f0 に加わります。通常の rand() * 0.1（幅 0.1）に比べて振れ幅が 3〜4 倍になる区間で、これが「分散の変化点」です。f1 の式は変えていないので、変化は f0 の 1 列だけに現れます。
4-10 行目i == 550 の 1 点だけ通常値に戻している
分散が大きい区間のちょうど真ん中に、ノイズを足さない日を 1 日だけ挟んでいます。min_size=3 のままだと、この 1 点の前後で区切る「幅 1 の区間」を作ろうとしかねない仕掛けで、後の実験で min_size=50 に上げる理由になっています。
20-26 行目それ以外の 900 日はほぼ一定
np.sin(di.weekday() * 0.001) * 2 は 0〜0.012、np.sin(di.day * 0.01) * 3 は 0.03〜0.9 の小さな値で、rand() * 0.1 のノイズが乗るだけです。f1 は日付による 1 か月周期のうねりがわずかにあり、pen が小さいとこれも変化点として拾われます。
34 行目ylim(0, 1) で縮めて分散の違いを見せる
値が 0〜1 の範囲に収まるので縦軸を固定し、500〜600 日目だけ f0 の帯が太くなっている様子を強調しています。平均はほぼ同じ高さなので、帯の太さの違いだけが手がかりです。

(0.0, 1.0)

(0.0, 1.0)の図

同じデータに rbf と l2 のコスト関数を当て、分散の変化を拾えるかを比べます。

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# 注意点：値の絶対値や損失関数によって指定すべきpenaltyの値は異なる
vizualize_change_point(data2.values, method="rbf", pen=1.5, min_size=50)
vizualize_change_point(data2.values, method="l2", pen=1.5, min_size=50)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

2 行目rbf は分散の変化を拾える
RBF カーネルは点どうしの距離の分布を見るので、平均が同じでも振れ幅が変われば区間内の類似度が下がり、500 日目と 600 日目付近に破線が立ちます。pen=1.5 は最初の実験の 1.0 より大きめで、f1 の 1 か月周期のうねりを変化点にしないための値です。
3 行目l2 は同じ pen では平均の変化しか見ない
l2 のコストは区間平均からの二乗偏差の合計なので、平均が変わらない分散の変化には鈍く、pen=1.5 では破線が出ないか、別の場所に出ます。コメントにあるとおり、l2 のコストは値のスケールに依存するため、rbf と同じ pen を使い回せない点にも注意が必要です。
2-3 行目min_size=50 で短い区間を禁止する
分散の大きい区間は 100 日なので、min_size=50 にしても両端を 1 つの区間として切り出せます。min_size=3 のままだと、551 日目の通常値 1 点を挟む細かい区間や、ノイズの偶然の並びによる短い区間が増えます。「変化は少なくとも何日続くか」を業務知識から決めるのが min_size の決め方です。

(0.0, 1.0)の図

(0.0, 1.0)の図

l2 で分散の変化を拾わせるには、分散そのものを列にして「平均の変化」に変えてしまう手があります。f0 の 10 日移動分散を 3 列目に足して再実行します。

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data2["var"] = data2["f0"].rolling(window=10).var().fillna(0)
vizualize_change_point(data2.values, method="rbf", pen=1.5, min_size=50)
vizualize_change_point(data2.values, method="l2", pen=0.1, min_size=100)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目移動分散を列に足して「分散の変化」を「平均の変化」に変える
rolling(window=10).var() は直近 10 日の分散で、500〜600 日目だけ値が数倍に跳ねる系列になります。これを 3 列目に加えると、l2 にとっては「var 列の平均が変わった」という見え方になり、平均しか見ないコスト関数でも検出できます。先頭 9 日は分散が計算できず NaN になるので fillna(0) で埋めています。
2 行目rbf の結果は var 列を足してもほぼ同じ
rbf はもともと分散の変化を拾えていたので、var 列が増えてもほぼ同じ場所に破線が出ます。列を足すことで悪くならないかの確認です。
3 行目l2 の pen を 0.1 に、min_size を 100 に変える
var 列の値は 0.001〜0.01 程度と小さいので、l2 のコストも小さく、pen=1.5 では変化点が 1 つも出ません。pen=0.1 に下げ、代わりに min_size=100 で「100 日以上続く変化」だけに限定して、500 日目と 600 日目付近の 2 か所を狙っています。pen と min_size はこのように対で調整します。

(0.0, 1.0)の図

(0.0, 1.0)の図

変化点が 2 つ（区間の始まりと終わり）と分かっているなら、Dynp で n_bkps=2 を指定するのが最も確実です。

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vizualize_change_point_dynp(data2.values, min_size=90, n_bkps=2)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目n_bkps=2 で「区間の入口と出口」だけを探す
分散が変わる区間は 1 つなので変化点は入口 500 と出口 600 の 2 つです。Dynp はこの 2 点を置く位置の全組み合わせから区間コストの合計が最小のものを選ぶので、pen の調整なしに 500 と 600 付近に破線が立ちます。
1 行目min_size=90 は区間の長さ 100 に合わせた値
min_size=90 にすると「90 日未満の区間は作らない」ので、入口と出口の間隔が 100 日の正解区間はぎりぎり許され、551 日目の通常値 1 点で区切る解は排除されます。min_size=110 にすると正解の区間自体が作れなくなるので、区間の長さの見込みより少し小さい値にします。
1 行目method は既定の rbf、var 列も入っている
data2.values は直前に var 列を足した 3 列の配列です。method を省いているので rbf が使われ、分散の変化に敏感なカーネルと var 列の両方で入口と出口を捉えます。

(0.0, 1.0)の図

実データでの実験 #

Yahoo finance の DDOG のデータ（Datadog 株の 1 年分の日足）を使って変化点を見てみます。正解のない実データなので、破線の位置を決算発表などの出来事と照らし合わせて解釈します。

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ddog = pd.read_csv("./DDOG.csv")
ddog.index = ddog["Date"]
ddog.drop(["Date"], axis=1, inplace=True)
ddog["Volume"] = 100 * ddog["Volume"] / ddog["Volume"].median()
ddog = ddog[["Open", "Close", "Volume"]]

plt.figure(figsize=(12, 4))
sns.lineplot(data=ddog)
plt.xticks(rotation=90)
plt.show()

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1-3 行目Date 列をインデックスにして落とす
Yahoo finance の CSV は Date, Open, High, Low, Close, Adj Close, Volume の列を持ちます。Date をインデックスに移してから列として削除し、数値列だけを残します。pd.to_datetime を通していないので横軸は文字列として並び、xticks(rotation=90) で日付ラベルを縦にして重なりを避けています。
4 行目Volume を中央値 100 に正規化して株価と同じ桁にする
出来高は数百万株、株価は 60〜120 ドルと桁が 5 つ違います。そのまま ruptures に渡すと l2 のコストが出来高だけで決まり、株価の変化が無視されます。中央値で割って 100 倍すれば「普段の 100 に対して何%か」という株価と同じ桁の値になります。rbf でもスケールの違いはカーネル幅に影響するので、この正規化は両方のモデルで効きます。
5 行目Open・Close・Volume の 3 列に絞る
High と Low は Open・Close とほぼ同じ動きで情報が重なるので外し、Adj Close も Close とほぼ同じなので外しています。列を減らすと rpt.display の段数が減って図が読みやすくなります。
8 行目図では株価の段差と出来高のスパイクを探す
sns.lineplot(data=ddog) で 3 列を重ねると、株価が数日で 20% 動いた段差と、その日に出来高が中央値の 300〜500% に跳ねたスパイクが見えます。決算発表日に起きる典型的な形で、次の検出でこの位置に破線が立つかを確かめます。

Yahoo financeのDDOGのデータを使って変化点を見てみようと思いますの図

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vizualize_change_point(ddog.values, method="rbf", pen=0.5, min_size=40)

コードの解説番号をクリックすると、コード内の該当行がハイライトされます。

1 行目min_size=40 は「約 2 か月続く変化」だけを拾う設定
日足 1 年分は約 250 営業日なので、min_size=40 にすると区間は最大でも 6 つ程度に抑えられます。株価は毎日動くため min_size=3 だと破線が数十本立ってしまい、「局面の切り替わり」を読むには粗い制約が必要です。
1 行目pen=0.5 は人工データの実験 1 と同じ桁
rbf のコストは値のスケールに左右されにくいので、Volume を正規化した後なら人工データで使った 0.1〜1.0 の範囲がそのまま目安になります。破線が多すぎれば 1.0 へ、少なすぎれば 0.3 へと動かします。
1 行目破線の日付を決算日と照合する
result は 0 始まりのインデックスなので、ddog.index[result[k]] で日付文字列に戻せます。Datadog は 2 月・5 月・8 月・11 月に決算を発表するので、破線がその前後に集まっていれば「決算で局面が変わった」という解釈が成り立ちます。正解がない実データでは、こうした外部の出来事との照合が検出結果の妥当性を判断する唯一の手段です。

Yahoo financeのDDOGのデータを使って変化点を見てみようと思いますの図

使いどころと落とし穴 #

ruptures を実データに使うときの調整点は model・pen・min_size の 3 つです。平均のジャンプを探すなら l2、分散や分布の形の変化も拾いたいなら rbf を選び、l2 の pen は信号の分散に比例した桁、rbf の pen は 0.1〜数の桁から始めます。min_size は「変化が意味を持つ最短の長さ」を業務知識から決め、pen と対で動かします。変化点の数が分かっているなら Dynp(n_bkps=k) が最も確実ですが、計算量が \(O(n^2)\) 以上なので 1 万点を超える系列では Pelt か、ウィンドウ法の Window を使います。列ごとのスケールが違うデータでは、DDOG の Volume のように正規化してから渡さないと、桁の大きい列だけで変化点が決まります。

Isolation Forest (時系列) — ラベルなしで時系列の異常値を検出
平均の変化点を可視化 — 平均レベルの切り替わりを移動平均と垂直線で表示
Zスコアで異常値検出 — 閾値超えの観測点を異常値として検出